Para os seguintes campos de velocidade calcule o divergente dos campos e a vorticidade. Indique em cada caso se o escoamento é compressível ou incompressível, rotacional ou irrotacional, transiente ou permanente
e) V=(x y z t) imath+(-x y z t^2) jmath+(z^22)(x t^2-y t) widehatk

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para calcularmos duas coisas importantes para um campo de velocidade: o divergente e a vorticidade. Além disso, temos que dizer se o fluxo é compressível ou incompressível, rotacional ou irrotacional, e se é transiente ou permanente.
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente as operações de divergente e rotacional. Não se preocupe se esses termos parecem complicados agora, vamos explicando passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente do campo de velocidade V = (x y z t) imath + (-x y z t^2) jmath + (z^22)(x t^2 - y t) k . O divergente nos diz se há “fonte” ou “sumidouro” no fluido em cada ponto.
O campo de velocidade dado é:
nabla cdot V = partial Vxpartial x + partial Vypartial y + partial Vzpartial z
A fórmula do divergente é:
nabla cdot V = y z t - x z t^2 + z (x t^2 - y t) = 0
Vamos calcular cada derivada:
Somando tudo:
Então, o divergente é zero.

Passo 3

Agora, vamos calcular a vorticidade, que é o rotacional do campo de velocidade. A vorticidade nos indica se o fluido está girando em torno de algum ponto.
A fórmula do rotacional é:
nabla times V = ( partial Vzpartial y - partial Vypartial z ) imath + ( partial Vxpartial z - partial Vzpartial x ) jmath + ( partial Vypartial x - partial Vxpartial y ) k
Vamos calcular cada termo:
  1. nabla times V = (-z^22 t - (-x y t^2)) imath + (x y t - z^22 t^2) jmath + (-y z t^2 - x z t) k
  2. = (x y t - z^22 t) imath + (x y t - z^22 t^2) jmath + (-y z t^2 - x z t) k
Agora, substituindo na fórmula:

Passo 4

Vamos classificar o fluxo com base nos resultados que obtivemos.
  1. Compressível ou Incompressível:
    • Como o divergente é zero ( ), o fluxo é incompressível. Isso significa que a densidade do fluido permanece constante ao longo do tempo.
  2. Rotacional ou Irrotacional:
    • A vorticidade não é zero, então o fluxo é rotacional. Ou seja, há pontos onde o fluido está girando.
  3. Transiente ou Permanente:
    • Observando as expressões do campo de velocidade, vemos que há termos que dependem de de forma não constante. Isso indica que o fluxo muda com o tempo, tornando-o transiente.

Resposta

  • Divergente: (fluxo incompressível)
  • Vorticidade: (fluxo rotacional)
  • Classificação do fluxo: Incompressível, Rotacional e Transiente.

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