Para os seguintes campos de velocidade calcule o divergente dos campos e a vorticidade. Indique em cada caso se o escoamento é compressível ou incompressível, rotacional ou irrotacional, transiente ou permanente
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Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para calcularmos duas coisas importantes para um campo de velocidade: o divergente e a vorticidade. Além disso, temos que dizer se o fluxo é compressível ou incompressível, rotacional ou irrotacional, e se é transiente ou permanente.
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente as operações de divergente e rotacional. Não se preocupe se esses termos parecem complicados agora, vamos explicando passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o divergente do campo de velocidade
. O divergente nos diz se há “fonte” ou “sumidouro” no fluido em cada ponto.
O campo de velocidade dado é:
A fórmula do divergente é:
Vamos calcular cada derivada:
Somando tudo:
Então, o divergente é zero.
Passo 3
Agora, vamos calcular a vorticidade, que é o rotacional do campo de velocidade. A vorticidade nos indica se o fluido está girando em torno de algum ponto.
A fórmula do rotacional é:
Vamos calcular cada termo:
Agora, substituindo na fórmula:
Passo 4
Vamos classificar o fluxo com base nos resultados que obtivemos.
-
Compressível ou Incompressível:
- Como o divergente é zero (
), o fluxo é incompressível. Isso significa que a densidade do fluido permanece constante ao longo do tempo.
- Como o divergente é zero (
-
Rotacional ou Irrotacional:
- A vorticidade
não é zero, então o fluxo é rotacional. Ou seja, há pontos onde o fluido está girando.
- A vorticidade
-
Transiente ou Permanente:
- Observando as expressões do campo de velocidade, vemos que há termos que dependem de
de forma não constante. Isso indica que o fluxo muda com o tempo, tornando-o transiente.
- Observando as expressões do campo de velocidade, vemos que há termos que dependem de
Resposta
- Divergente:
(fluxo incompressível) - Vorticidade:
(fluxo rotacional) - Classificação do fluxo: Incompressível, Rotacional e Transiente.