Para os seguintes campos de velocidade calcule o divergente dos campos e a vorticidade. Indique em cada caso se o escoamento é compressível ou incompressível, rotacional ou irrotacional, transiente ou permanente
c) V=(x+y+z^2) imath+(x-y+z) jmath+(2 x y+y^2+4) widehatk

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de campos de velocidade! O enunciado pede para calcular o divergente e a vorticidade desse campo, e depois dizer se o escoamento é compressível ou incompressível, rotacional ou irrotacional, e se é transiente ou permanente. Vamos precisar usar o cálculo vetorial, especificamente as operações de divergente e rotacional (vorticidade).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o divergente de um campo vetorial. O divergente mede a “taxa de fluxo” de um campo vetorial saindo de um ponto. Matematicamente, para um campo nabla cdot V = partial Vxpartial x + partial Vypartial y + partial Vzpartial z , o divergente é dado por:
Vamos calcular isso para o nosso campo.

Passo 3

Identificando as componentes do campo:
V = (x + y + z^2) imath + (x - y + z) jmath + (2xy + y^2 + 4) k
Então temos:
Vx = x + y + z^2
Vy = x - y + z
Vz = 2xy + y^2 + 4

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
partial Vxpartial x = partialpartial x(x + y + z^2) = 1
partial Vypartial y = partialpartial y(x - y + z) = -1
partial Vzpartial z = partialpartial z(2xy + y^2 + 4) = 0

Passo 5

Somando essas derivadas para encontrar o divergente:
nabla cdot V = 1 + (-1) + 0 = 0
Isso significa que o divergente do campo é zero.

Passo 6

Como o divergente é zero, o escoamento é incompressível. Em termos físicos, isso indica que não há criação nem destruição de “matéria” no campo, ou seja, o volume é mantido constante.

Passo 7

Agora, vamos calcular a vorticidade, que é o rotacional do campo vetorial. A vorticidade nos dá uma medida da rotação do campo em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional é:
nabla times V = ( partial Vzpartial y - partial Vypartial z ) imath + ( partial Vxpartial z - partial Vzpartial x ) jmath + ( partial Vypartial x - partial Vxpartial y ) k

Passo 8

Calculando cada componente:
  1. Para partial Vzpartial y = partialpartial y(2xy + y^2 + 4) = 2x + 2y :
partial Vypartial z = partialpartial z(x - y + z) = 1
Componente imath = (2x + 2y) - 1 = 2x + 2y - 1
partial Vxpartial z = partialpartial z(x + y + z^2) = 2z
  1. Para partial Vzpartial x = partialpartial x(2xy + y^2 + 4) = 2y :
Componente jmath = 2z - 2y = 2(z - y)
partial Vypartial x = partialpartial x(x - y + z) = 1
partial Vxpartial y = partialpartial y(x + y + z^2) = 1
  1. Para Componente k = 1 - 1 = 0 :

Passo 9

Então, a vorticidade é:
nabla times V = (2x + 2y - 1) imath + 2(z - y) jmath + 0 k = (2x + 2y - 1) imath + 2(z - y) jmath

Passo 10

Como a vorticidade não é zero, o escoamento é rotacional. Isso quer dizer que há rotação no campo de velocidade.

Passo 11

Finalmente, como não temos nenhuma dependência explícita do tempo no campo de velocidade fornecido, o escoamento é considerado permanente.

Resposta

O divergente do campo é zero, indicando que o escoamento é incompressível. A vorticidade calculada é , o que mostra que o escoamento é rotacional. Além disso, como o campo não depende do tempo, o escoamento é permanente.

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Para os seguintes campos de velocidade calcule o divergente dos campos e a vorticidade. Indique em cada caso se o escoamento é compressível ou incompressível, rotacional ou irrotacional, transiente ou permanente
d) V=(y^2+2 x z) imath+(-2 y z+x^2 y z) jmath+(12 x^2 z^2+x^3 y^4) k
Para o escoamento de Poiseuille, cujo campo de velocidades é dado por, V=(2 U(y^2-h^2)) imath+0 jmath (Considerando o eixo times posicionado na linha central do canal), onde U é a velocidade média do fluido, que é um dado do problema.
a) Determine o vetor vorticidade, o vetor rotação e o tensor deformação (no plano xy)
Para os seguintes campos de velocidade calcule o divergente dos campos e a vorticidade. Indique em cada caso se o escoamento é compressível ou incompressível, rotacional ou irrotacional, transiente ou permanente
a) V=2 x^2 y imath-2 y^2 x jmath+0 widehatk
Para os seguintes campos de velocidade calcule o divergente dos campos e a vorticidade. Indique em cada caso se o escoamento é compressível ou incompressível, rotacional ou irrotacional, transiente ou permanente
e) V=(x y z t) imath+(-x y z t^2) jmath+(z^22)(x t^2-y t) widehatk