Para os seguintes campos de velocidade calcule o divergente dos campos e a vorticidade. Indique em cada caso se o escoamento é compressível ou incompressível, rotacional ou irrotacional, transiente ou permanente
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de campos de velocidade! O enunciado pede para calcular o divergente e a vorticidade desse campo, e depois dizer se o escoamento é compressível ou incompressível, rotacional ou irrotacional, e se é transiente ou permanente. Vamos precisar usar o cálculo vetorial, especificamente as operações de divergente e rotacional (vorticidade).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o divergente de um campo vetorial. O divergente mede a “taxa de fluxo” de um campo vetorial saindo de um ponto. Matematicamente, para um campo
, o divergente é dado por:
Vamos calcular isso para o nosso campo.
Passo 3
Identificando as componentes do campo:
Então temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 5
Somando essas derivadas para encontrar o divergente:
Isso significa que o divergente do campo é zero.
Passo 6
Como o divergente é zero, o escoamento é incompressível. Em termos físicos, isso indica que não há criação nem destruição de “matéria” no campo, ou seja, o volume é mantido constante.
Passo 7
Agora, vamos calcular a vorticidade, que é o rotacional do campo vetorial. A vorticidade nos dá uma medida da rotação do campo em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional é:
Passo 8
Calculando cada componente:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 9
Então, a vorticidade é:
Passo 10
Como a vorticidade não é zero, o escoamento é rotacional. Isso quer dizer que há rotação no campo de velocidade.
Passo 11
Finalmente, como não temos nenhuma dependência explícita do tempo no campo de velocidade fornecido, o escoamento é considerado permanente.
Resposta
O divergente do campo é zero, indicando que o escoamento é incompressível. A vorticidade calculada é
, o que mostra que o escoamento é rotacional. Além disso, como o campo não depende do tempo, o escoamento é permanente.