Para os seguintes campos de velocidade calcule o divergente dos campos e a vorticidade. Indique em cada caso se o escoamento é compressível ou incompressível, rotacional ou irrotacional, transiente ou permanente
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que envolve campos de velocidade. O que precisamos fazer aqui é calcular a divergência e a vorticidade do campo de velocidade dado. Além disso, vamos verificar se o escoamento é compressível ou incompressível, rotacional ou irrotacional, e se é transiente ou permanente. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas parciais e operações vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo de velocidade
. A divergência nos ajuda a entender se o fluxo está comprimindo ou expandindo. A fórmula da divergência em coordenadas cartesianas é:
Vamos identificar as componentes de
:
Agora, calculamos cada derivada parcial:
Somando essas derivadas:
Passo 3
Agora, vamos calcular a vorticidade, que é definida como o rotacional do campo de velocidade:
A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
Vamos calcular cada termo:
Agora, substituindo na expressão do rotacional:
Simplificando cada componente:
Passo 4
Vamos agora analisar as características do escoamento:
-
Compressibilidade: A divergência calculada foi
. Se a divergência for zero, o escoamento é incompressível; caso contrário, é compressível. Como , o escoamento é compressível. -
Rotacionalidade: A vorticidade não é zero em nenhuma das componentes, portanto, o escoamento é rotacional.
-
Transiência: O enunciado não fornece informações sobre a variação temporal do campo de velocidade. Se não há termos dependentes do tempo na expressão de
, assumimos que o escoamento é permanente.
Resposta
A divergência é
e a vorticidade é
. O escoamento é compressível, rotacional e permanente.
Exercícios relacionados
Para o escoamento de Poiseuille, cujo campo de velocidades é dado por,
(Considerando o eixo
posicionado na linha central do canal), onde
é a velocidade média do fluido, que é um dado do problema.
a) Determine o vetor vorticidade, o vetor rotação e o tensor deformação (no plano xy)
a) Determine o vetor vorticidade, o vetor rotação e o tensor deformação (no plano xy)
Para os seguintes campos de velocidade calcule o divergente dos campos e a vorticidade. Indique em cada caso se o escoamento é compressível ou incompressível, rotacional ou irrotacional, transiente ou permanente
b)
b)
Para os seguintes campos de velocidade calcule o divergente dos campos e a vorticidade. Indique em cada caso se o escoamento é compressível ou incompressível, rotacional ou irrotacional, transiente ou permanente
c)
c)
Para os seguintes campos de velocidade calcule o divergente dos campos e a vorticidade. Indique em cada caso se o escoamento é compressível ou incompressível, rotacional ou irrotacional, transiente ou permanente
a)
a)