Para os seguintes campos de velocidade calcule o divergente dos campos e a vorticidade. Indique em cada caso se o escoamento é compressível ou incompressível, rotacional ou irrotacional, transiente ou permanente
d) V=(y^2+2 x z) imath+(-2 y z+x^2 y z) jmath+(12 x^2 z^2+x^3 y^4) k

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que envolve campos de velocidade. O que precisamos fazer aqui é calcular a divergência e a vorticidade do campo de velocidade dado. Além disso, vamos verificar se o escoamento é compressível ou incompressível, rotacional ou irrotacional, e se é transiente ou permanente. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas parciais e operações vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo de velocidade V. A divergência nos ajuda a entender se o fluxo está comprimindo ou expandindo. A fórmula da divergência em coordenadas cartesianas é:
nabla cdot V = partial Vxpartial x + partial Vypartial y + partial Vzpartial z
Vamos identificar as componentes de V:
  • partial Vxpartial x = partialpartial x(y^2 + 2xz) = 2z
  • partial Vypartial y = partialpartial y(-2yz + x^2 yz) = -2z + x^2z
  • partial Vzpartial z = partialpartial z(12x^2z^2 + x^3y^4) = x^2z
Agora, calculamos cada derivada parcial:
nabla cdot V = 2z + (-2z + x^2z) + x^2z = (2z - 2z) + x^2z + x^2z = 2x^2z
Somando essas derivadas:

Passo 3

Agora, vamos calcular a vorticidade, que é definida como o rotacional do campo de velocidade:
omega = nabla times V
A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
omega = ( partial Vzpartial y - partial Vypartial z )imath + ( partial Vxpartial z - partial Vzpartial x )jmath + ( partial Vypartial x - partial Vxpartial y )k
Vamos calcular cada termo:
partial Vzpartial y = partialpartial y(12x^2z^2 + x^3y^4) = 4x^3y^3
partial Vypartial z = partialpartial z(-2yz + x^2 yz) = -2y + x^2y
partial Vxpartial z = partialpartial z(y^2 + 2xz) = 2x
partial Vzpartial x = partialpartial x(12x^2z^2 + x^3y^4) = x z^2 + 3x^2y^4
partial Vypartial x = partialpartial x(-2yz + x^2 yz) = 2x yz
partial Vxpartial y = partialpartial y(y^2 + 2xz) = 2y
Agora, substituindo na expressão do rotacional:
omega = (4x^3y^3 - (-2y + x^2y))imath + (2x - (xz^2 + 3x^2y^4))jmath + (2x yz - 2y)k
Simplificando cada componente:
omegax = 4x^3y^3 + 2y - x^2y
omegay = 2x - xz^2 - 3x^2y^4
omegaz = 2x yz - 2y = 2y(xz - 1)

Passo 4

Vamos agora analisar as características do escoamento:
  • Compressibilidade: A divergência calculada foi . Se a divergência for zero, o escoamento é incompressível; caso contrário, é compressível. Como , o escoamento é compressível.
  • Rotacionalidade: A vorticidade não é zero em nenhuma das componentes, portanto, o escoamento é rotacional.
  • Transiência: O enunciado não fornece informações sobre a variação temporal do campo de velocidade. Se não há termos dependentes do tempo na expressão de , assumimos que o escoamento é permanente.

Resposta

A divergência é e a vorticidade é . O escoamento é compressível, rotacional e permanente.

Exercícios relacionados

Para o escoamento de Poiseuille, cujo campo de velocidades é dado por, V=(2 U(y^2-h^2)) imath+0 jmath (Considerando o eixo times posicionado na linha central do canal), onde U é a velocidade média do fluido, que é um dado do problema.
a) Determine o vetor vorticidade, o vetor rotação e o tensor deformação (no plano xy)
Para os seguintes campos de velocidade calcule o divergente dos campos e a vorticidade. Indique em cada caso se o escoamento é compressível ou incompressível, rotacional ou irrotacional, transiente ou permanente
b) V=2 x y^2 imath+2 y x^2 jmath+0 widehatk
Para os seguintes campos de velocidade calcule o divergente dos campos e a vorticidade. Indique em cada caso se o escoamento é compressível ou incompressível, rotacional ou irrotacional, transiente ou permanente
c) V=(x+y+z^2) imath+(x-y+z) jmath+(2 x y+y^2+4) widehatk
Para os seguintes campos de velocidade calcule o divergente dos campos e a vorticidade. Indique em cada caso se o escoamento é compressível ou incompressível, rotacional ou irrotacional, transiente ou permanente
a) V=2 x^2 y imath-2 y^2 x jmath+0 widehatk