Um longo cilindro oco é construído com material cuja condutividade térmica é uma função da temperatura, de acordo com a relação
, onde
é expressa em
e k em BTU/h
. Os raios interno e externo do cilindro são, respectivamente, de 5 e 10 polegadas. Sob as condições de estado estacionário, a temperatura na superficie interna é
e na externa,
.
Calcule a taxa de transferência de calor por pé linear, levando em conta a variação na condutividade térmica com a temperatura.
Calcule a taxa de transferência de calor por pé linear, levando em conta a variação na condutividade térmica com a temperatura.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um cilindro oco grande feito de um material cuja condutividade térmica depende da temperatura, dada pela fórmula
. As dimensões internas e externas do cilindro são de 5 e 10 polegadas, respectivamente. As temperaturas nas superfícies interna e externa são de
e
. Precisamos calcular a taxa de transferência de calor por pé linear, levando em conta que a condutividade térmica varia com a temperatura. Para resolver isso, vamos usar princípios de condução de calor em cilindros com condutividade térmica variável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que em estado estacionário, a taxa de transferência de calor
(BTU/h ft) é constante ao longo do cilindro. A fórmula geral para condução de calor em um cilindro com condutividade térmica constante é:
Mas como
depende da temperatura, precisamos ajustar a abordagem. Vamos começar convertendo as unidades dos raios de polegadas para pés porque a condutividade está em BTU/h ft °F.
Passo 3
A condutividade térmica depende da temperatura, então temos que relacionar a variação da temperatura com a posição radial
. A equação de condução de calor em estado estacionário para um cilindro é:
Aqui,
é constante,
é o comprimento do cilindro (1 ft para facilitar),
é a posição radial,
é a condutividade térmica dependente da temperatura, e
é a taxa de variação da temperatura com o raio.
Passo 4
Vamos rearranjar a equação para separar as variáveis
e
:
Substituindo
pela expressão dada:
Passo 5
Agora, vamos separar as variáveis e integrar ambos os lados. Integramos de
a
e de
ft a
ft:
Passo 6
Vamos calcular as integrais:
À esquerda:
À direita:
Passo 7
Igualando as duas integrais:
Simplificando os sinais:
Passo 8
Resolvendo para
:
Como
ft:
Resposta
A taxa de transferência de calor por pé linear é aproximadamente
.