Um longo cilindro oco é construído com material cuja condutividade térmica é uma função da temperatura, de acordo com a relação k=0,06+0,0006 T, onde T é expressa em ^circ F e k em BTU/h ft ^circ F. Os raios interno e externo do cilindro são, respectivamente, de 5 e 10 polegadas. Sob as condições de estado estacionário, a temperatura na superficie interna é 800^circ F e na externa, 200^circ F.
Calcule a taxa de transferência de calor por pé linear, levando em conta a variação na condutividade térmica com a temperatura.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um cilindro oco grande feito de um material cuja condutividade térmica depende da temperatura, dada pela fórmula . As dimensões internas e externas do cilindro são de 5 e 10 polegadas, respectivamente. As temperaturas nas superfícies interna e externa são de e . Precisamos calcular a taxa de transferência de calor por pé linear, levando em conta que a condutividade térmica varia com a temperatura. Para resolver isso, vamos usar princípios de condução de calor em cilindros com condutividade térmica variável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que em estado estacionário, a taxa de transferência de calor Q' = 2pi k L (T1 - T2)ln(r2r1) (BTU/h ft) é constante ao longo do cilindro. A fórmula geral para condução de calor em um cilindro com condutividade térmica constante é:
r1 = 512 ft, r2 = 1012 ft
Mas como depende da temperatura, precisamos ajustar a abordagem. Vamos começar convertendo as unidades dos raios de polegadas para pés porque a condutividade está em BTU/h ft °F.

Passo 3

A condutividade térmica depende da temperatura, então temos que relacionar a variação da temperatura com a posição radial Q' = -2pi L r k(T) dTdr . A equação de condução de calor em estado estacionário para um cilindro é:
Aqui, é constante, é o comprimento do cilindro (1 ft para facilitar), é a posição radial, é a condutividade térmica dependente da temperatura, e é a taxa de variação da temperatura com o raio.

Passo 4

Vamos rearranjar a equação para separar as variáveis dTdr = -Q'2pi L r k(T) e dTdr = -Q'2pi L r (0,06 + 0,0006 T) :
Substituindo pela expressão dada:

Passo 5

Agora, vamos separar as variáveis e integrar ambos os lados. Integramos de integral800^200 (0,06 + 0,0006 T) , dT = -Q'2pi L integral512^1012 1r , dr a e de ft a ft:

Passo 6

Vamos calcular as integrais:
À esquerda:
integral800^200 0,06 , dT + integral800^200 0,0006 T , dT = 0,06 (200 - 800) + 0,0006 ( 200^2 - 800^22 ) = -36 - 180 = -216
À direita:
-Q'2pi L [ ln(r) ]512^1012 = -Q'2pi L (ln(10/12) - ln(5/12)) = -Q'2pi L ln(2)

Passo 7

Igualando as duas integrais:
-216 = -Q'2pi L ln(2)
Simplificando os sinais:
216 = Q'2pi L ln(2)

Passo 8

Resolvendo para Q' = 2pi L times 216ln(2) :
Q' = 2pi times 216ln(2) approx 1357,1680,693147 approx 1958 , BTU/h ft
Como ft:

Resposta

A taxa de transferência de calor por pé linear é aproximadamente .

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