Em cada um dos seguintes itens, a partir dos elementos dados, determine a equação da elipse:
c) centro C(-1,-1), vértice V(5,-1) e excentricidade e=2 / 3;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! A gente tem que encontrar a equação de uma elipse usando três informações: o centro da elipse , um vértice e a excentricidade . Vamos precisar usar fórmulas de elipse e entender o que cada termo significa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a forma padrão da equação de uma elipse com centro no ponto (x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1 :
Aqui, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor. Se a elipse é horizontal, como no nosso caso (já que o vértice está no eixo x), estará relacionado à direção horizontal.

Passo 3

Sabemos que o centro da elipse é a = |5 - (-1)| = 6 e um vértice é . A distância entre o centro e um vértice nos dá o valor de . Vamos calcular isso:
Então, .

Passo 4

A excentricidade e = ca é a razão entre a distância do centro até o foco 23 = c6 implies c = 6 times 23 = 4 e o semi-eixo maior :
Dado que e , podemos encontrar :
Então, .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor de c^2 = a^2 - b^2 usando a relação:
4^2 = 6^2 - b^2 implies 16 = 36 - b^2 implies b^2 = 36 - 16 = 20
Substituindo os valores que temos:
Então, .

Passo 6

Agora que temos (x - (-1))^26^2 + (y - (-1))^2(raiz20)^2 = 1 , (x + 1)^236 + (y + 1)^220 = 1 , e , podemos substituir esses valores na equação padrão da elipse:
Simplificando:

Resposta

A equação da elipse é:
(x + 1)^236 + (y + 1)^220 = 1

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