Em cada um dos seguintes itens, a partir dos elementos dados, determine a equação da elipse:
c) centro
, vértice
e excentricidade
;
c) centro
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! A gente tem que encontrar a equação de uma elipse usando três informações: o centro da elipse
, um vértice
e a excentricidade
. Vamos precisar usar fórmulas de elipse e entender o que cada termo significa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a forma padrão da equação de uma elipse com centro no ponto
:
Aqui,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor. Se a elipse é horizontal, como no nosso caso (já que o vértice está no eixo x),
estará relacionado à direção horizontal.
Passo 3
Sabemos que o centro da elipse é
e um vértice é
. A distância entre o centro e um vértice nos dá o valor de
. Vamos calcular isso:
Então,
.
Passo 4
A excentricidade
é a razão entre a distância do centro até o foco
e o semi-eixo maior
:
Dado que
e
, podemos encontrar
:
Então,
.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor de
usando a relação:
Substituindo os valores que temos:
Então,
.
Passo 6
Agora que temos
,
,
e
, podemos substituir esses valores na equação padrão da elipse:
Simplificando:
Resposta
A equação da elipse é: