Seja W o subespaço de R^4 gerado pelos vetores (1,-2,5,-3),(2,3,1,-4),(3,8,-3,-5).
Faça agora o caminho inverso, encontre, se possível, os vetores da base canônica de R^4 que geram W .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um subespaço de gerado por três vetores específicos: , e . A pergunta é para, basicamente, fazer o caminho inverso e descobrir se conseguimos encontrar vetores da base canônica de que também gerem . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de bases, subespaços e combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a base canônica de e1 = (1, 0, 0, 0) . São os vetores:
e2 = (0, 1, 0, 0)
e3 = (0, 0, 1, 0)
e4 = (0, 0, 0, 1)
Esses vetores são “padrão” e qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear deles.

Passo 3

Agora, para encontrar se algum conjunto desses vetores canônicos gera (1, -2, 5, -3) = a cdot e1 + b cdot e2 + c cdot e3 + d cdot e4 , precisamos ver se podemos expressar os vetores que geram como combinações lineares desses vetores canônicos. Ou seja, queremos encontrar coeficientes tais que:
E o mesmo para os outros dois vetores que geram .

Passo 4

Vamos fazer isso para o primeiro vetor:
(1, -2, 5, -3) = a(1, 0, 0, 0) + b(0, 1, 0, 0) + c(0, 0, 1, 0) + d(0, 0, 0, 1)
Isso resulta no sistema de equações:
a = 1 b = -2 c = 5 d = -3
Então, o primeiro vetor pode ser gerado pelos vetores canônicos com , , , .

Passo 5

Repetindo o processo para o segundo vetor a = 2 b = 3 c = 1 d = -4 :
a = 3 b = 8 c = -3 d = -5
E para o terceiro vetor :
Isso mostra que cada vetor que gera pode ser representado como uma combinação linear dos vetores da base canônica.

Passo 6

No entanto, para que os vetores da base canônica também gerem , eles precisam ser suficientes para gerar todo o subespaço . Como é gerado por três vetores e estamos trabalhando em , precisamos verificar a independência linear desses vetores.

Passo 7

Observando os coeficientes encontrados, percebemos que cada vetor gerador de requer diferentes combinações dos vetores canônicos. Isso indica que não há um subconjunto menor dos vetores canônicos que possa gerar por si só. Ou seja, todos os quatro vetores canônicos seriam necessários para combinar e gerar os vetores de , mas isso não é eficiente nem necessário.

Passo 8

Portanto, concluímos que não é possível encontrar um subconjunto dos vetores da base canônica de que gere de forma direta e independente.

Resposta

Não é possível encontrar vetores da base canônica de que gerem o subespaço .

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