Nos seguintes exercícios, encontre a forma diagonalizada:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que está acontecendo aqui. A gente tem uma forma quadrática dada por . Nosso objetivo é diagonalizar essa forma quadrática, ou seja, reescrevê-la de um jeito mais simples, sem os termos misturados como ou . Para isso, vamos usar conceitos de matrizes simétricas e autovalores/autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a forma quadrática por uma matriz simétrica. A forma geral de uma forma quadrática em três variáveis é:
Onde é uma matriz simétrica 3x3. Então, vamos montar a matriz com base nos coeficientes da forma quadrática:
Aqui, dividi os coeficientes dos termos misturados por 2 porque aparece duas vezes na multiplicação .
Passo 3
Agora, para diagonalizar a matriz , precisamos encontrar seus autovalores e autovetores. Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica:
Vamos calcular o determinante:
Expandindo esse determinante, obtemos a equação característica. Após calcular, encontramos os autovalores , e .
Passo 4
Com os autovalores em mãos, vamos achar os autovetores correspondentes a cada .
Para :
Resolvendo, encontramos .
Para :
Resolvendo, encontramos .
Para :
Resolvendo, encontramos .
Passo 5
Agora que temos os autovalores e os autovetores, podemos construir a matriz de mudança de base, onde cada coluna é um autovetor:
Para garantir que seja uma matriz ortogonal (necessária para a diagonalização), normalizamos os autovetores. Após a normalização, temos:
Passo 6
Finalmente, a forma diagonalizada é obtida por:
Como a matriz é composta pelos autovetores de , a matriz será diagonal com os autovalores na diagonal:
Resposta
A forma diagonalizada de é:
Onde são as novas variáveis após a mudança de base.