Nos seguintes exercícios, encontre a forma diagonalizada:
Q(x1, x2, x3)=3 x1^2+4 x2^2+5 x3^2+4 x1 x2-4 x2 x3

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que está acontecendo aqui. A gente tem uma forma quadrática dada por . Nosso objetivo é diagonalizar essa forma quadrática, ou seja, reescrevê-la de um jeito mais simples, sem os termos misturados como ou . Para isso, vamos usar conceitos de matrizes simétricas e autovalores/autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a forma quadrática por uma matriz simétrica. A forma geral de uma forma quadrática em três variáveis é:
Q(x) = x^T A x
Onde A = 3 & 2 & 0 2 & 4 & -2 0 & -2 & 5 é uma matriz simétrica 3x3. Então, vamos montar a matriz com base nos coeficientes da forma quadrática:
Aqui, dividi os coeficientes dos termos misturados por 2 porque aparece duas vezes na multiplicação .

Passo 3

Agora, para diagonalizar a matriz det(A - lambda I) = 0 , precisamos encontrar seus autovalores e autovetores. Os autovalores são os valores de det( 3-lambda & 2 & 0 2 & 4-lambda & -2 0 & -2 & 5-lambda ) = 0 que satisfazem a equação característica:
Vamos calcular o determinante:
Expandindo esse determinante, obtemos a equação característica. Após calcular, encontramos os autovalores , e .

Passo 4

Com os autovalores em mãos, vamos achar os autovetores correspondentes a cada (A - 2I)v = 0 Rightarrow 1 & 2 & 0 2 & 2 & -2 0 & -2 & 3 v = 0 .
Para 1 -1 1 :
(A - 4I)v = 0 Rightarrow -1 & 2 & 0 2 & 0 & -2 0 & -2 & 1 v = 0
Resolvendo, encontramos 2 1 2 .
Para (A - 6I)v = 0 Rightarrow -3 & 2 & 0 2 & -2 & -2 0 & -2 & -1 v = 0 :
1 1 1
Resolvendo, encontramos .
Para :
Resolvendo, encontramos .

Passo 5

Agora que temos os autovalores e os autovetores, podemos construir a matriz de mudança de base P = 1 & 2 & 1 -1 & 1 & 1 1 & 2 & 1 , onde cada coluna é um autovetor:
P = 1raiz3 & 23 & 1raiz3 -1raiz3 & 13 & 1raiz3 1raiz3 & 23 & 1raiz3
Para garantir que seja uma matriz ortogonal (necessária para a diagonalização), normalizamos os autovetores. Após a normalização, temos:

Passo 6

Finalmente, a forma diagonalizada é obtida por:
D = P^T A P
Como a matriz D = 2 & 0 & 0 0 & 4 & 0 0 & 0 & 6 é composta pelos autovetores de , a matriz será diagonal com os autovalores na diagonal:

Resposta

A forma diagonalizada de Q(x1, x2, x3) = 2y1^2 + 4y2^2 + 6y3^2 é:
Onde são as novas variáveis após a mudança de base.

Exercícios relacionados