Nos seguintes exercícios, encontre a forma diagonalizada:
Q(x1, x2)=2 x1^2+2 x2^2-2 x1 x2

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo e quais conceitos vamos usar. Temos a forma quadrática . Nosso objetivo é encontrar a forma diagonalizada dessa expressão, ou seja, reescrevê-la de modo que não tenha os termos mistos . Para isso, vamos usar conceitos de matrizes simétricas, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a forma quadrática em forma matricial. A forma quadrática geral pode ser escrita como:
Q(x) = x^T A x
Onde 2x1^2 + 2x2^2 - 2x1x2 = x1 & x2 2 & -1 -1 & 2 x1 x2 é uma matriz simétrica. No nosso caso:
A = 2 & -1 -1 & 2
Portanto, a matriz é:

Passo 3

Para diagonalizar a matriz det(A - lambda I) = 0 , precisamos encontrar seus autovalores det( 2 - lambda & -1 -1 & 2 - lambda ) = (2 - lambda)^2 - (-1)^2 = (2 - lambda)^2 - 1 = 0 . Isso é feito resolvendo a equação:
(2 - lambda)^2 = 1
Onde 2 - lambda = pm 1 é a matriz identidade. Calculando:
lambda1 = 2 - 1 = 1
Resolvendo a equação:
lambda2 = 2 + 1 = 3
Portanto, os autovalores são:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para 1 & -1 -1 & 1 v1 v2 = 0 0 :
Resolvemos v1 - v2 = 0 :
v1 = 1 1
Isso dá a equação:
-1 & -1 -1 & -1 v1 v2 = 0 0
Então, podemos escolher o autovetor:
-v1 - v2 = 0
Para v2 = 1 -1 :
Resolvemos :
Isso dá a equação:
Então, podemos escolher o autovetor:

Passo 5

Com os autovalores e autovetores, podemos montar a matriz de diagonalização P = 1 & 1 1 & -1 , onde as colunas são os autovetores:
D = 1 & 0 0 & 3
A matriz diagonal Q(x) = y^T D y terá os autovalores na diagonal:
Assim, a forma diagonalizada da forma quadrática é:
Onde .

Resposta

A forma diagonalizada de Q(x1, x2) = 1,y1^2 + 3,y2^2 é:

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