Nos seguintes exercícios, encontre a forma diagonalizada:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo e quais conceitos vamos usar. Temos a forma quadrática
. Nosso objetivo é encontrar a forma diagonalizada dessa expressão, ou seja, reescrevê-la de modo que não tenha os termos mistos
. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes simétricas, autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a forma quadrática em forma matricial. A forma quadrática geral pode ser escrita como:
Onde
é uma matriz simétrica. No nosso caso:
Portanto, a matriz
é:
Passo 3
Para diagonalizar a matriz
, precisamos encontrar seus autovalores
. Isso é feito resolvendo a equação:
Onde
é a matriz identidade. Calculando:
Resolvendo a equação:
Portanto, os autovalores são:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para
:
Resolvemos
:
Isso dá a equação:
Então, podemos escolher o autovetor:
Para
:
Resolvemos
:
Isso dá a equação:
Então, podemos escolher o autovetor:
Passo 5
Com os autovalores e autovetores, podemos montar a matriz de diagonalização
, onde as colunas são os autovetores:
A matriz diagonal
terá os autovalores na diagonal:
Assim, a forma diagonalizada da forma quadrática é:
Onde
.
Resposta
A forma diagonalizada de
é:
Exercícios relacionados
Nos seguintes exercícios, encontre a forma diagonalizada:
Escreva
como combinação linear de
, onde:
a)
b) .
a)
b)
Determinar as coordenadas retangulares (cartesianas) dos pontos cujas coordenadas cilíndricas são:
;
Verifique que o conjunto
dos polinômios de grau menor ou igual a 3 é um espaço vetorial.