Nos seguintes exercícios, encontre a forma diagonalizada:

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo e quais conceitos vamos usar. Temos a forma quadrática . Nosso objetivo é encontrar a forma diagonalizada dessa expressão, ou seja, reescrevê-la de modo que não tenha os termos mistos . Para isso, vamos usar conceitos de matrizes simétricas, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a forma quadrática em forma matricial. A forma quadrática geral pode ser escrita como:
Onde é uma matriz simétrica. No nosso caso:
Portanto, a matriz é:

Passo 3

Para diagonalizar a matriz , precisamos encontrar seus autovalores . Isso é feito resolvendo a equação:
Onde é a matriz identidade. Calculando:
Resolvendo a equação:
Portanto, os autovalores são:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Isso dá a equação:
Então, podemos escolher o autovetor:
Para :
Resolvemos :
Isso dá a equação:
Então, podemos escolher o autovetor:

Passo 5

Com os autovalores e autovetores, podemos montar a matriz de diagonalização , onde as colunas são os autovetores:
A matriz diagonal terá os autovalores na diagonal:
Assim, a forma diagonalizada da forma quadrática é:
Onde .

Resposta

A forma diagonalizada de é:

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Nos seguintes exercícios, encontre a forma diagonalizada:
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a)
b) .
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;
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