Determinar as coordenadas retangulares (cartesianas) dos pontos cujas coordenadas cilíndricas são:
(4,45^circ, 2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa converter as coordenadas cilíndricas para coordenadas cartesianas. Pra isso, vamos usar algumas fórmulas da trigonometria que relacionam essas duas formas de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que cada número nas coordenadas cilíndricas representa:
  • O primeiro número, 4, é a distância do ponto até o eixo , chamada de raio .
  • O segundo número, , é o ângulo que a linha do ponto faz com o eixo .
  • O terceiro número, 2, é a altura do ponto acima do plano .

Passo 3

Para converter para coordenadas cartesianas x = rho cdot cos(theta) , usamos as seguintes fórmulas:
y = rho cdot sin(theta)
z = z
Aqui, , e .

Passo 4

Vamos calcular x = 4 cdot cos(45^circ) :
x = 4 cdot raiz22 = 2raiz2
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, vamos calcular y = 4 cdot sin(45^circ) :
y = 4 cdot raiz22 = 2raiz2
Também sabemos que , então:

Passo 6

E o valor de z = 2 já está direto:

Resposta

As coordenadas cartesianas do ponto são .

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