Qual dos seguintes são formas quadráticas, justifique cada um deles.
  • tal que .
  • tal que .
  • tal que .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três funções diferentes e precisamos determinar quais delas são formas quadráticas. Formas quadráticas são expressões matemáticas onde cada termo tem grau 2, ou seja, as variáveis são elevadas ao quadrado ou multiplicadas entre si. Para resolver isso, vamos analisar cada função separadamente.

Passo 2

Primeira função:
Uma forma quadrática típica tem a forma geral onde é um número real. Nesse caso, sempre resulta em 0, independentemente do valor de . Como 0 pode ser visto como , isso ainda se encaixa na definição de uma forma quadrática.

Passo 3

Segunda função:
Aqui, temos uma expressão envolvendo , e . Cada um desses termos tem grau 2:
  • é um termo de segundo grau em .
  • é um termo de segundo grau em .
  • é um termo de segundo grau envolvendo a multiplicação de e .
    Como todos os termos são de grau 2, essa função é uma forma quadrática.

Passo 4

Terceira função:
A notação representa a norma do vetor , que é calculada como . Então, elevando ao quadrado, temos:
Aqui, tanto quanto são termos de segundo grau, e não há termos de grau diferente. Portanto, essa função também é uma forma quadrática.

Resposta

Todas as três funções são formas quadráticas.

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Seja um espaço vetorial de matrizes . Considere a função . Verifique que essa função é uma forma bilinear.
Encontre a matriz associada a cada uma das seguintes formas quadráticas
Escreva como combinação linear de , onde:
a)
b) .
Nos seguintes exercícios, encontre a forma diagonalizada: