Verifique que o conjunto P3(R)=p(t)=a0+a1 t+a2 t^2+a3 t^3 ; a0, a1, a2, a3, t in R dos polinômios de grau menor ou igual a 3 é um espaço vetorial.

Passo 1

Então, a gente tem que verificar se o conjunto P3(R), que é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 3 com coeficientes reais, é um espaço vetorial. Isso envolve conferir se ele satisfaz as regras que definem um espaço vetorial, usando conceitos de álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um espaço vetorial precisa ter duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar, que nesse caso são os polinômios e os números reais, respectivamente.

Passo 3

Vamos verificar se P3(R) é fechado sob adição. Isso significa que se você pegar dois polinômios quaisquer de grau ≤3 e somá-los, o resultado também deve ser um polinômio de grau ≤3.

Passo 4

Se p(t) = a0 + a1 t + a2 t^2 + a3 t^3 e q(t) = b0 + b1 t + b2 t^2 + b3 t^3, então p(t) + q(t) = (a0+b0) + (a1+b1)t + (a2+b2)t^2 + (a3+b3)t^3. Claramente, o grau do polinômio resultante não excede 3.

Passo 5

Agora, vamos ver a multiplicação por escalar. Se multiplicarmos um polinômio p(t) por um número real k, teremos k cdot p(t) = k a0 + k a1 t + k a2 t^2 + k a3 t^3. O grau continua sendo ≤3, então também estamos fechados nessa operação.

Passo 6

Além disso, precisamos conferir as outras propriedades dos espaços vetoriais, como a existência do vetor nulo (o polinômio zero), a existência de inversos aditivos, associatividade e comutatividade da adição, e a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores e de escalares. Todas essas propriedades são satisfeitas em P3(R).

Resposta

Portanto, o conjunto P3(R) dos polinômios de grau menor ou igual a 3 é de fato um espaço vetorial.

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