Verifique que o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 3 é um espaço vetorial.

Passo 1

Então, a gente tem que verificar se o conjunto , que é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 3 com coeficientes reais, é um espaço vetorial. Isso envolve conferir se ele satisfaz as regras que definem um espaço vetorial, usando conceitos de álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um espaço vetorial precisa ter duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar, que nesse caso são os polinômios e os números reais, respectivamente.

Passo 3

Vamos verificar se é fechado sob adição. Isso significa que se você pegar dois polinômios quaisquer de grau ≤3 e somá-los, o resultado também deve ser um polinômio de grau ≤3.

Passo 4

Se e , então . Claramente, o grau do polinômio resultante não excede 3.

Passo 5

Agora, vamos ver a multiplicação por escalar. Se multiplicarmos um polinômio por um número real , teremos . O grau continua sendo ≤3, então também estamos fechados nessa operação.

Passo 6

Além disso, precisamos conferir as outras propriedades dos espaços vetoriais, como a existência do vetor nulo (o polinômio zero), a existência de inversos aditivos, associatividade e comutatividade da adição, e a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores e de escalares. Todas essas propriedades são satisfeitas em .

Resposta

Portanto, o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 3 é de fato um espaço vetorial.

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