Verifique que o conjunto
dos polinômios de grau menor ou igual a 3 é um espaço vetorial.
Passo 1
Então, a gente tem que verificar se o conjunto
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 3 com coeficientes reais, é um espaço vetorial. Isso envolve conferir se ele satisfaz as regras que definem um espaço vetorial, usando conceitos de álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um espaço vetorial precisa ter duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar, que nesse caso são os polinômios e os números reais, respectivamente.
Passo 3
Vamos verificar se
é fechado sob adição. Isso significa que se você pegar dois polinômios quaisquer de grau ≤3 e somá-los, o resultado também deve ser um polinômio de grau ≤3.
Passo 4
Se
e
, então
. Claramente, o grau do polinômio resultante não excede 3.
Passo 5
Agora, vamos ver a multiplicação por escalar. Se multiplicarmos um polinômio
por um número real
, teremos
. O grau continua sendo ≤3, então também estamos fechados nessa operação.
Passo 6
Além disso, precisamos conferir as outras propriedades dos espaços vetoriais, como a existência do vetor nulo (o polinômio zero), a existência de inversos aditivos, associatividade e comutatividade da adição, e a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores e de escalares. Todas essas propriedades são satisfeitas em
.
Resposta
Portanto, o conjunto
dos polinômios de grau menor ou igual a 3 é de fato um espaço vetorial.
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;
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Seja
a forma bilinear de
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em relação a cada uma das seguintes bases:
.
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