Determine o limite da sequência
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o limite da sequência
. A matéria envolvida aqui é limites de sequências, especialmente utilizando propriedades de exponenciais e logaritmos. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões com potências e aplicar a definição do número
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da potência. Observa que:
Então, podemos reescrever a sequência assim:
Passo 3
Agora, vamos lembrar de um limite famoso que define o número
:
Esse limite nos mostra que, conforme
fica cada vez maior, a expressão dentro dos parênteses elevada a
se aproxima de
.
Passo 4
No nosso caso, temos
elevada a
ao invés de apenas
. Podemos reescrever a potência assim:
Isso é possível porque quando temos uma potência dentro de outra, multiplicamos os expoentes.
Passo 5
Agora, aplicando o limite que conhecemos:
Isso acontece porque
se aproxima de
quando
vai para o infinito, e então
elevado a
resulta em
.
Resposta
O limite da sequência é
.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada da função
no ponto ( 1,0 ), na direção que forma um ângulo de
com o eixo
Determine o domínio da função
dada por
. Qual o valor de
para cada
pertencente ao domínio de
?
Calcule a derivada da função
no ponto (
), na direção do vetor
.
Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton: derivada de
no ponto