As seguintes funções são contínuas em todos pontos no plano
? Justifique cada resposta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. A questão quer saber se a função
é contínua em todos os pontos do plano
. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de continuidade de funções e domínio de definição. Vamos verificar onde a função está bem definida e se não há “quebras” ou “saltos” que impeçam a continuidade.
Passo 2
Para uma função ser contínua em todo o seu domínio, tanto o numerador quanto o denominador precisam ser funções contínuas, e o denominador não pode ser zero. Vamos analisar cada parte:
-
Numerador (
): Essa é uma função polinomial em , que é contínua em todo . -
Denominador (
): A raiz quadrada é contínua quando o que está dentro dela é positivo. Então, precisamos que .
Passo 3
Vamos verificar onde
:
-
é sempre maior ou igual a 0 para qualquer . - Então,
implica que .
Isso define o domínio de definição da função: todos os pontos
onde
.
Passo 4
Agora, precisamos verificar se o denominador nunca é zero dentro do domínio:
-
garante que nunca será zero, porque a raiz de um número positivo é sempre positiva.
Portanto, dentro do domínio
, o denominador nunca é zero, e a função está bem definida.
Passo 5
Porém, a questão pergunta se a função é contínua em todos os pontos do plano
. Vamos pensar no que acontece fora do domínio:
- Quando
, a expressão dentro da raiz quadrada fica menor ou igual a zero, o que torna a função indefinida nesses pontos.
Resposta
A função
não é contínua em todos os pontos de
, pois ela não está definida para valores de
, o que impede a continuidade em todo o plano.
Exercícios relacionados
Escreva a equação da distância entre dois pontos no plano
e
, aplique a equação para os pontos
e
e
.
Calcule a integral definida:
Para cada uma das funções, determine seu maior domínio de definição:
b)
b)