As seguintes funções são contínuas em todos pontos no plano ? Justifique cada resposta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. A questão quer saber se a função é contínua em todos os pontos do plano . Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de continuidade de funções e domínio de definição. Vamos verificar onde a função está bem definida e se não há “quebras” ou “saltos” que impeçam a continuidade.

Passo 2

Para uma função ser contínua em todo o seu domínio, tanto o numerador quanto o denominador precisam ser funções contínuas, e o denominador não pode ser zero. Vamos analisar cada parte:
  • Numerador ( ): Essa é uma função polinomial em , que é contínua em todo .
  • Denominador ( ): A raiz quadrada é contínua quando o que está dentro dela é positivo. Então, precisamos que .

Passo 3

Vamos verificar onde :
  • é sempre maior ou igual a 0 para qualquer .
  • Então, implica que .
Isso define o domínio de definição da função: todos os pontos onde .

Passo 4

Agora, precisamos verificar se o denominador nunca é zero dentro do domínio:
  • garante que nunca será zero, porque a raiz de um número positivo é sempre positiva.
Portanto, dentro do domínio , o denominador nunca é zero, e a função está bem definida.

Passo 5

Porém, a questão pergunta se a função é contínua em todos os pontos do plano . Vamos pensar no que acontece fora do domínio:
  • Quando , a expressão dentro da raiz quadrada fica menor ou igual a zero, o que torna a função indefinida nesses pontos.

Resposta

A função não é contínua em todos os pontos de , pois ela não está definida para valores de , o que impede a continuidade em todo o plano.

Exercícios relacionados

Escreva a equação da distância entre dois pontos no plano e , aplique a equação para os pontos e e .
Calcule a integral definida:
Para cada uma das funções, determine seu maior domínio de definição:
b)