Calcule a integral definida:

Passo 1

Vamos calcular a integral definida . Este exercício está relacionado com o Cálculo de Integrais, especificamente usando o método de frações parciais. Para resolver, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, observamos que o denominador da fração pode ser fatorado. A expressão pode ser reescrita como . Assim, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. Isso significa que queremos encontrar constantes e tais que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:
Vamos encontrar os valores de e resolvendo este sistema.
  • Para encontrar , podemos escolher :
  • Para encontrar , podemos escolher :
Assim, a decomposição fica:

Passo 4

Agora, substituímos a decomposição na integral original:
Podemos separar a integral em duas partes:
Agora, integramos cada termo:
  • A integral de é .
  • A integral de é .
Portanto:

Resposta

Calculando os limites, temos:
Simplificando:
Portanto, o valor da integral definida é:

Exercícios relacionados

Determine se a equação é exata. Se for, então solucione-a. .
Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta. Conjunto de nível 1 da função é uma reta.
Escreva a equação da distância entre dois pontos no plano e , aplique a equação para os pontos e e .
As seguintes funções são contínuas em todos pontos no plano ? Justifique cada resposta.