Calcule a integral definida:
Passo 1
Vamos calcular a integral definida
. Este exercício está relacionado com o Cálculo de Integrais, especificamente usando o método de frações parciais. Para resolver, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, observamos que o denominador da fração pode ser fatorado. A expressão
pode ser reescrita como
. Assim, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração
em frações parciais. Isso significa que queremos encontrar constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Vamos encontrar os valores de
e
resolvendo este sistema.
- Para encontrar
, podemos escolher :
- Para encontrar
, podemos escolher :
Assim, a decomposição fica:
Passo 4
Agora, substituímos a decomposição na integral original:
Podemos separar a integral em duas partes:
Agora, integramos cada termo:
- A integral de
é . - A integral de
é .
Portanto:
Resposta
Calculando os limites, temos:
Simplificando:
Portanto, o valor da integral definida é: