Calcule a integral definida: integral1^4 x+2x^2-5 x d x

Passo 1

Vamos calcular a integral definida integral1^4 x+2x^2-5x , dx. Este exercício está relacionado com o Cálculo de Integrais, especificamente usando o método de frações parciais. Para resolver, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, observamos que o denominador da fração pode ser fatorado. A expressão x^2 - 5x pode ser reescrita como x(x - 5). Assim, a integral fica:
integral1^4 x+2x(x-5) , dx

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração x+2x(x-5) em frações parciais. Isso significa que queremos encontrar constantes A e B tais que:
x+2x(x-5) = Ax + Bx-5
Multiplicando ambos os lados por x(x-5) para eliminar os denominadores, temos:
x + 2 = A(x - 5) + Bx
Vamos encontrar os valores de A e B resolvendo este sistema.
  • Para encontrar A, podemos escolher x = 0:
0 + 2 = A(0 - 5) + B cdot 0 2 = -5A A = -25
  • Para encontrar B, podemos escolher x = 5:
5 + 2 = A(5 - 5) + B cdot 5 7 = 5B B = 75
Assim, a decomposição fica:
x+2x(x-5) = -25 cdot 1x + 75 cdot 1x-5

Passo 4

Agora, substituímos a decomposição na integral original:
integral1^4 ( -25 cdot 1x + 75 cdot 1x-5 ) , dx
Podemos separar a integral em duas partes:
-25 integral1^4 1x , dx + 75 integral1^4 1x-5 , dx
Agora, integramos cada termo:
  • A integral de 1x é ln|x|.
  • A integral de 1x-5 é ln|x-5|.
Portanto:
-25 [ ln|x| ]1^4 + 75 [ ln|x-5| ]1^4

Resposta

Calculando os limites, temos:
-25 (ln 4 - ln 1) + 75 (ln|4-5| - ln|1-5|)
Simplificando:
-25 ln 4 + 75 (ln 1 - ln 4) = -25 ln 4 - 75 ln 4 = -95 ln 4
Portanto, o valor da integral definida é:
-95 ln 4

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