Quais das seguintes funções satisfazem a equação de onda partial^2 y(x, t)partial x^2-1v^2 partial^2 y(x, t)partial t^2=0 ?
(a) y(x, t)=A cos (k x+omega t)
(b) y(x, t)=A sin (k x+omega t)
© y(x, t)=A(cos (k x)+cos (omega t));
(d) Para a onda do item (b), escreva a equação para a velocidade transversal e a aceleração transversal de uma partícula no ponto x.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para verificar quais das funções dadas satisfazem a equação de onda:
partial^2 y(x, t)partial x^2 - 1v^2 partial^2 y(x, t)partial t^2 = 0
Vamos precisar entender o que é a equação de onda e como aplicar derivadas parciais nas funções apresentadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de onda. Ela descreve como as ondas, como as sonoras ou as de uma corda, se propagam no espaço e no tempo. Para uma função representar uma onda que satisfaz essa equação, ela precisa ter derivadas segundas em relação a e que obedecem à relação da equação.

Passo 3

Vamos analisar a função da alínea (a):
y(x, t) = A cos(kx + omega t)
Primeiro, calculamos a segunda derivada em relação a partial ypartial x = -A k sin(kx + omega t) :
partial^2 ypartial x^2 = -A k^2 cos(kx + omega t)
partial ypartial t = -A omega sin(kx + omega t)
Agora, a segunda derivada em relação a partial^2 ypartial t^2 = -A omega^2 cos(kx + omega t) :
- A k^2 cos(kx + omega t) - 1v^2 (-A omega^2 cos(kx + omega t)) = 0
- A k^2 cos(kx + omega t) + A omega^2v^2 cos(kx + omega t) = 0
Substituindo na equação de onda:
A cos(kx + omega t) ( -k^2 + omega^2v^2 ) = 0
-k^2 + omega^2v^2 = 0 Rightarrow omega^2 = k^2 v^2
Para que essa equação seja válida para qualquer e , o termo dentro dos parênteses deve ser zero:
Isso significa que a função da alínea (a) satisfaz a equação de onda se e estiverem relacionados por .

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para a alínea (b):
y(x, t) = A sin(kx + omega t)
As derivações serão semelhantes:
partial^2 ypartial x^2 = -A k^2 sin(kx + omega t)
partial^2 ypartial t^2 = -A omega^2 sin(kx + omega t)
Substituindo na equação de onda:
- A k^2 sin(kx + omega t) - 1v^2 (-A omega^2 sin(kx + omega t)) = 0
- A k^2 sin(kx + omega t) + A omega^2v^2 sin(kx + omega t) = 0
A sin(kx + omega t) ( -k^2 + omega^2v^2 ) = 0
Novamente, para ser válido para qualquer -k^2 + omega^2v^2 = 0 Rightarrow omega^2 = k^2 v^2 e :
Então, a função da alínea (b) também satisfaz a equação de onda sob a mesma condição.

Passo 5

Agora, vamos para a alínea ©:
y(x, t) = A(cos(kx) + cos(omega t))
Primeiro, calculamos as derivadas:
partial^2 ypartial x^2 = -A k^2 cos(kx)
partial^2 ypartial t^2 = -A omega^2 cos(omega t)
Substituindo na equação de onda:
- A k^2 cos(kx) - 1v^2 (-A omega^2 cos(omega t)) = 0
- A k^2 cos(kx) + A omega^2v^2 cos(omega t) = 0
Para que isso seja válido para qualquer - k^2 cos(kx) + omega^2v^2 cos(omega t) = 0 e , precisaríamos que:
No entanto, isso não é possível a menos que e sejam proporcionalmente iguais, o que não ocorre para funções gerais de e . Portanto, a alínea © não satisfaz a equação de onda.

Passo 6

Por fim, a alínea (d) pede para, usando a função da alínea (b), escrever as equações para a velocidade transversal e a aceleração transversal de uma partícula no ponto y(x, t) = A sin(kx + omega t) .
A função é:
vy = partial ypartial t = A omega cos(kx + omega t)
A velocidade transversal ay = partial vypartial t = -A omega^2 sin(kx + omega t) é a derivada de em relação ao tempo :
A aceleração transversal é a derivada de em relação ao tempo :

Resposta

As funções que satisfazem a equação de onda são:
(a)
(b)
A alínea © não satisfaz a equação de onda.
Além disso, para a função da alínea (b), a velocidade transversal é e a aceleração transversal é .

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