Quais das seguintes funções satisfazem a equação de onda ?
(a)
(b)
© ;
(d) Para a onda do item (b), escreva a equação para a velocidade transversal e a aceleração transversal de uma partícula no ponto x.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para verificar quais das funções dadas satisfazem a equação de onda:
Vamos precisar entender o que é a equação de onda e como aplicar derivadas parciais nas funções apresentadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de onda. Ela descreve como as ondas, como as sonoras ou as de uma corda, se propagam no espaço e no tempo. Para uma função representar uma onda que satisfaz essa equação, ela precisa ter derivadas segundas em relação a e que obedecem à relação da equação.

Passo 3

Vamos analisar a função da alínea (a):
Primeiro, calculamos a segunda derivada em relação a :
Agora, a segunda derivada em relação a :
Substituindo na equação de onda:
Para que essa equação seja válida para qualquer e , o termo dentro dos parênteses deve ser zero:
Isso significa que a função da alínea (a) satisfaz a equação de onda se e estiverem relacionados por .

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para a alínea (b):
As derivações serão semelhantes:
Substituindo na equação de onda:
Novamente, para ser válido para qualquer e :
Então, a função da alínea (b) também satisfaz a equação de onda sob a mesma condição.

Passo 5

Agora, vamos para a alínea ©:
Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação de onda:
Para que isso seja válido para qualquer e , precisaríamos que:
No entanto, isso não é possível a menos que e sejam proporcionalmente iguais, o que não ocorre para funções gerais de e . Portanto, a alínea © não satisfaz a equação de onda.

Passo 6

Por fim, a alínea (d) pede para, usando a função da alínea (b), escrever as equações para a velocidade transversal e a aceleração transversal de uma partícula no ponto .
A função é:
A velocidade transversal é a derivada de em relação ao tempo :
A aceleração transversal é a derivada de em relação ao tempo :

Resposta

As funções que satisfazem a equação de onda são:
(a)
(b)
A alínea © não satisfaz a equação de onda.
Além disso, para a função da alínea (b), a velocidade transversal é e a aceleração transversal é .

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