Quais das seguintes funções satisfazem a equação de onda
?
(a)
(b)
©
;
(d) Para a onda do item (b), escreva a equação para a velocidade transversal e a aceleração transversal de uma partícula no ponto x.
(a)
(b)
©
(d) Para a onda do item (b), escreva a equação para a velocidade transversal e a aceleração transversal de uma partícula no ponto x.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para verificar quais das funções dadas satisfazem a equação de onda:
Vamos precisar entender o que é a equação de onda e como aplicar derivadas parciais nas funções apresentadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de onda. Ela descreve como as ondas, como as sonoras ou as de uma corda, se propagam no espaço e no tempo. Para uma função
representar uma onda que satisfaz essa equação, ela precisa ter derivadas segundas em relação a
e
que obedecem à relação da equação.
Passo 3
Vamos analisar a função da alínea (a):
Primeiro, calculamos a segunda derivada em relação a
:
Agora, a segunda derivada em relação a
:
Substituindo na equação de onda:
Para que essa equação seja válida para qualquer
e
, o termo dentro dos parênteses deve ser zero:
Isso significa que a função da alínea (a) satisfaz a equação de onda se
e
estiverem relacionados por
.
Passo 4
Vamos fazer o mesmo para a alínea (b):
As derivações serão semelhantes:
Substituindo na equação de onda:
Novamente, para ser válido para qualquer
e
:
Então, a função da alínea (b) também satisfaz a equação de onda sob a mesma condição.
Passo 5
Agora, vamos para a alínea ©:
Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação de onda:
Para que isso seja válido para qualquer
e
, precisaríamos que:
No entanto, isso não é possível a menos que
e
sejam proporcionalmente iguais, o que não ocorre para funções gerais de
e
. Portanto, a alínea © não satisfaz a equação de onda.
Passo 6
Por fim, a alínea (d) pede para, usando a função da alínea (b), escrever as equações para a velocidade transversal e a aceleração transversal de uma partícula no ponto
.
A função é:
A velocidade transversal
é a derivada de
em relação ao tempo
:
A aceleração transversal
é a derivada de
em relação ao tempo
:
Resposta
As funções que satisfazem a equação de onda são:
(a)
(b)
A alínea © não satisfaz a equação de onda.
Além disso, para a função da alínea (b), a velocidade transversal é
e a aceleração transversal é
.