Substitua a seguinte função de onda:
na equação de Schrödinger independente do tempo:
e prove que o valor da energia é dado por:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de onda para uma partícula num “poço” quântico de largura . O objetivo é substituir essa função na equação de Schrödinger independente do tempo e mostrar que a energia está dada por . Basicamente, estamos trabalhando com mecânica quântica e vamos precisar calcular derivadas e usar propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de Schrödinger independente do tempo:
Aqui, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, é a função de onda, e é a energia que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos calcular a segunda derivada de em relação a . A função de onda é:
A primeira derivada de em relação a é:
Agora, a segunda derivada:
Simplificando:

Passo 4

Agora, substituímos a segunda derivada na equação de Schrödinger:
Simplificando os sinais:

Passo 5

Como é diferente de zero, podemos cancelar os termos de ambos os lados:

Resposta

Portanto, provamos que a energia está dada por:

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(a)
(b)
© ;
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