Substitua a seguinte função de onda:
na equação de Schrödinger independente do tempo:
e prove que o valor da energia é dado por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de onda
para uma partícula num “poço” quântico de largura
. O objetivo é substituir essa função na equação de Schrödinger independente do tempo e mostrar que a energia
está dada por
. Basicamente, estamos trabalhando com mecânica quântica e vamos precisar calcular derivadas e usar propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de Schrödinger independente do tempo:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula,
é a função de onda, e
é a energia que queremos encontrar.
Passo 3
Vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
. A função de onda é:
A primeira derivada de
em relação a
é:
Agora, a segunda derivada:
Simplificando:
Passo 4
Agora, substituímos a segunda derivada na equação de Schrödinger:
Simplificando os sinais:
Passo 5
Como
é diferente de zero, podemos cancelar os termos de ambos os lados:
Resposta
Portanto, provamos que a energia
está dada por: