Substitua a seguinte função de onda:
psin(x)=raiz2L sin (n pi xL), n=1,2,3, ldots
na equação de Schrödinger independente do tempo:
-hbar^22 m d^2 psin(x)d x^2=En psin(x)
e prove que o valor da energia é dado por:
En=n^2 pi^2 hbar^22 m L^2, n=1,2,3, ldots

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de onda para uma partícula num “poço” quântico de largura . O objetivo é substituir essa função na equação de Schrödinger independente do tempo e mostrar que a energia está dada por . Basicamente, estamos trabalhando com mecânica quântica e vamos precisar calcular derivadas e usar propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de Schrödinger independente do tempo:
-hbar^22 m d^2 psin(x)d x^2=En psin(x)
Aqui, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, é a função de onda, e é a energia que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos calcular a segunda derivada de psin(x)=raiz2L sin (n pi xL) em relação a d psin(x)dx = raiz2L cdot n piL cos (n pi xL) . A função de onda é:
d^2 psin(x)dx^2 = -raiz2L cdot (n piL)^2 sin (n pi xL)
A primeira derivada de d^2 psin(x)dx^2 = -(n^2 pi^2L^2) psin(x) em relação a é:
Agora, a segunda derivada:
Simplificando:

Passo 4

Agora, substituímos a segunda derivada na equação de Schrödinger:
-hbar^22 m (-n^2 pi^2L^2 psin(x)) = En psin(x)
Simplificando os sinais:
hbar^2 n^2 pi^22 m L^2 psin(x) = En psin(x)

Passo 5

Como En = n^2 pi^2 hbar^22 m L^2 é diferente de zero, podemos cancelar os termos de ambos os lados:

Resposta

Portanto, provamos que a energia En=n^2 pi^2 hbar^22 m L^2, n=1,2,3, ldots está dada por:

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