Nas seguintes matrizes, determine se a matriz dada é invertível. Caso seja, calcule a inversa.
k. (ccc0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & 1 & 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a matriz que você mandou é invertível e, se for, calcular a sua inversa. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente trabalhando com matrizes e determinantes. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e, se ele for diferente de zero, usar esse determinante para encontrar a inversa da matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz. O determinante é um número que nos ajuda a saber se a matriz tem uma inversa. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
A matriz que temos é:
A = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & 1 & 1
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a seguinte fórmula:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde os elementos da matriz são:
A = a & b & c d & e & f g & h & i
Aplicando isso à nossa matriz:
a = 0, b = 0, c = 1 d = 0, e = 1, f = 1 g = 1, h = 1, i = 1
Agora, substituindo na fórmula:
det(A) = 0(1 cdot 1 - 1 cdot 1) - 0(0 cdot 1 - 1 cdot 1) + 1(0 cdot 1 - 1 cdot 1)
Simplificando cada termo:
0(1 - 1) = 0 0(0 - 1) = 0 1(0 - 1) = -1
Então:
det(A) = 0 - 0 - 1 = -1

Passo 3

Como o determinante A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) é C11 = (-1)^1+1 cdot 1 & 1 1 & 1 = 1(1 cdot 1 - 1 cdot 1) = 0 e diferente de zero, isso significa que a matriz C12 = (-1)^1+2 cdot 0 & 1 1 & 1 = -1(0 cdot 1 - 1 cdot 1) = 1 é invertível. Agora, vamos calcular a inversa da matriz.
Para encontrar a inversa de uma matriz 3x3, usamos a seguinte fórmula:
C13 = (-1)^1+3 cdot 0 & 1 1 & 1 = 1(0 cdot 1 - 1 cdot 1) = -1
Onde C21 = (-1)^2+1 cdot 0 & 1 1 & 1 = -1(0 cdot 1 - 1 cdot 1) = 1 é a adjunta de C22 = (-1)^2+2 cdot 0 & 1 1 & 1 = 1(0 cdot 1 - 1 cdot 1) = -1 , que é a transposta da matriz dos cofatores de C23 = (-1)^2+3 cdot 0 & 0 1 & 1 = -1(0 cdot 1 - 0 cdot 1) = 0 .
Primeiro, vamos encontrar a matriz dos cofatores de C31 = (-1)^3+1 cdot 0 & 0 1 & 1 = 1(0 cdot 1 - 0 cdot 1) = 0 . Cada elemento dessa matriz é calculado determinando o cofator correspondente da matriz original.
Calculando os cofatores:
  1. Cofator C32 = (-1)^3+2 cdot 0 & 1 0 & 1 = -1(0 cdot 1 - 0 cdot 1) = 0 :
C33 = (-1)^3+3 cdot 0 & 0 0 & 1 = 1(0 cdot 1 - 0 cdot 0) = 0
  1. Cofator Cof(A) = 0 & 1 & -1 1 & -1 & 0 0 & 0 & 0 :
adj(A) = 0 & 1 & 0 1 & -1 & 0 -1 & 0 & 0
  1. Cofator A^-1 = 1-1 cdot 0 & 1 & 0 1 & -1 & 0 -1 & 0 & 0 = 0 & -1 & 0 -1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 :
  1. Cofator :
  1. Cofator :
  1. Cofator :
  1. Cofator :
  1. Cofator :
  1. Cofator :
Agora, a matriz dos cofatores é:
A adjunta de é a transposta da matriz dos cofatores:
Agora, aplicando a fórmula da inversa:

Resposta

A matriz é invertível e sua inversa é:
A^-1 = 0 & -1 & 0 -1 & 1 & 0 1 & 0 & 0

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