Seja D: wpn wpn o operador linear derivada, isto é, D(f)=d fd t. Encontre o N(D) e a Im(D).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um operador linear que atua no espaço das polinômios de grau no máximo , denotado por . Esse operador é a derivada, ou seja, . A pergunta quer que encontremos o núcleo de , chamado de , e a imagem de , chamada de . Para resolver isso, precisamos lembrar o que são núcleo e imagem de um operador linear.

Passo 2

Vamos começar encontrando o núcleo de N(D) = f in wpn mid D(f) = 0 , . O núcleo de um operador linear é o conjunto de todos os vetores (no nosso caso, polinômios) que são levados ao vetor zero pelo operador. Ou seja,
Como é a derivada de , estamos procurando todos os polinômios cuja derivada é zero.

Passo 3

Sabemos que a derivada de um polinômio é zero se e somente se o polinômio é constante. Portanto, N(D) = f(t) = c mid c é constante consiste de todos os polinômios constantes em . Ou seja,
é
Isso significa que o núcleo de é o conjunto de todos os polinômios de grau zero.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a imagem de Im(D) = dfdt mid f in wpn , . A imagem de um operador linear é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos pela aplicação do operador a qualquer vetor do espaço. No nosso caso,
Queremos saber quais polinômios podem ser obtidos como derivadas de polinômios em .

Passo 5

Seja um polinômio em . A derivada terá grau no máximo , já que ao derivar reduzimos o grau do polinômio em um. Portanto, consiste em todos os polinômios de grau no máximo .

Resposta

O núcleo de N(D) = f(t) = c mid c constante é o conjunto de todos os polinômios constantes em Im(D) = wpn-1 :
E a imagem de é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo :

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