Seja o operador linear derivada, isto é, . Encontre o e a .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um operador linear que atua no espaço das polinômios de grau no máximo , denotado por . Esse operador é a derivada, ou seja, . A pergunta quer que encontremos o núcleo de , chamado de , e a imagem de , chamada de . Para resolver isso, precisamos lembrar o que são núcleo e imagem de um operador linear.
Passo 2
Vamos começar encontrando o núcleo de , . O núcleo de um operador linear é o conjunto de todos os vetores (no nosso caso, polinômios) que são levados ao vetor zero pelo operador. Ou seja,
Como é a derivada de , estamos procurando todos os polinômios cuja derivada é zero.
Passo 3
Sabemos que a derivada de um polinômio é zero se e somente se o polinômio é constante. Portanto, consiste de todos os polinômios constantes em . Ou seja,
Isso significa que o núcleo de é o conjunto de todos os polinômios de grau zero.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a imagem de , . A imagem de um operador linear é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos pela aplicação do operador a qualquer vetor do espaço. No nosso caso,
Queremos saber quais polinômios podem ser obtidos como derivadas de polinômios em .
Passo 5
Seja um polinômio em . A derivada terá grau no máximo , já que ao derivar reduzimos o grau do polinômio em um. Portanto, consiste em todos os polinômios de grau no máximo .
Resposta
O núcleo de é o conjunto de todos os polinômios constantes em :
E a imagem de é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo :