Seja
o operador linear derivada, isto é,
. Encontre o
e a
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um operador linear
que atua no espaço das polinômios de grau no máximo
, denotado por
. Esse operador
é a derivada, ou seja,
. A pergunta quer que encontremos o núcleo de
, chamado de
, e a imagem de
, chamada de
. Para resolver isso, precisamos lembrar o que são núcleo e imagem de um operador linear.
Passo 2
Vamos começar encontrando o núcleo de
,
. O núcleo de um operador linear é o conjunto de todos os vetores (no nosso caso, polinômios) que são levados ao vetor zero pelo operador. Ou seja,
Como
é a derivada de
, estamos procurando todos os polinômios cuja derivada é zero.
Passo 3
Sabemos que a derivada de um polinômio é zero se e somente se o polinômio é constante. Portanto,
consiste de todos os polinômios constantes em
. Ou seja,
Isso significa que o núcleo de
é o conjunto de todos os polinômios de grau zero.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a imagem de
,
. A imagem de um operador linear é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos pela aplicação do operador a qualquer vetor do espaço. No nosso caso,
Queremos saber quais polinômios podem ser obtidos como derivadas de polinômios em
.
Passo 5
Seja
um polinômio em
. A derivada
terá grau no máximo
, já que ao derivar reduzimos o grau do polinômio em um. Portanto,
consiste em todos os polinômios de grau no máximo
.
Resposta
O núcleo de
é o conjunto de todos os polinômios constantes em
:
E a imagem de
é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo
: