Nos seguintes problemas verifique que o vetor dado satisfaz a equação diferencial:
  1. X^prime=[ll3 & -2 2 & -2] X, X=[l4 2] e^2 t.
  2. Y^prime=[ccc1 & 1 & 1 2 & 1 & -1 0 & -1 & 1] Y, Y=[c6 -8 -4] e^-t+2[c0 1 -1] e^2 t.

Passo 1

Vamos resolver o primeiro problema. A gente precisa verificar se o vetor dado 4 2 satisfaz a equação diferencial 3 & -2 2 & -2 . Para isso, vamos calcular a derivada de em relação a e ver se ela é igual ao produto da matriz pelo vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de X^prime = ddt ( 4 2 e^2 t ) = 4 2 cdot ddt (e^2 t) = 4 2 cdot 2 e^2 t = 8 e^2 t 4 e^2 t em relação a . A derivada de um vetor é simplesmente a derivada de cada uma de suas componentes. Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto da matriz pelo vetor 3 & -2 2 & -2 cdot 4 2 e^2 t = 3 cdot 4 + (-2) cdot 2 2 cdot 4 + (-2) cdot 2 e^2 t = 12 - 4 8 - 4 e^2 t = 8 e^2 t 4 e^2 t :

Passo 4

Agora, vamos verificar o segundo problema. Precisamos confirmar se o vetor dado
Y = 6 -8 -4 e^-t + 2 0 1 -1 e^2 t
satisfaz a equação diferencial
Y^prime = 1 & 1 & 1 2 & 1 & -1 0 & -1 & 1 Y
A gente vai calcular a derivada de e o produto da matriz por para ver se são iguais.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular a derivada de Y^prime = ddt ( 6 -8 -4 e^-t + 2 0 1 -1 e^2 t ) :
Y^prime = 6 -8 -4 (-1) e^-t + 2 0 1 -1 (2) e^2 t = -6 e^-t 8 e^-t 4 e^-t + 0 4 e^2 t -4 e^2 t = -6 e^-t 8 e^-t + 4 e^2 t 4 e^-t - 4 e^2 t
Derivando cada termo:

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto da matriz pela 1 & 1 & 1 2 & 1 & -1 0 & -1 & 1 cdot ( 6 -8 -4 e^-t + 2 0 1 -1 e^2 t ) :
= 1 & 1 & 1 2 & 1 & -1 0 & -1 & 1 6 -8 -4 e^-t + 2 1 & 1 & 1 2 & 1 & -1 0 & -1 & 1 0 1 -1 e^2 t
Primeiro, distribuímos a matriz nas somas:
1 cdot 6 + 1 cdot (-8) + 1 cdot (-4) 2 cdot 6 + 1 cdot (-8) + (-1) cdot (-4) 0 cdot 6 + (-1) cdot (-8) + 1 cdot (-4) e^-t = 6 -8 -4 12 -8 +4 0 +8 -4 e^-t = -6 e^-t 8 e^-t 4 e^-t
Calculando cada produto:
Para o primeiro termo:
2 1 cdot 0 + 1 cdot 1 + 1 cdot (-1) 2 cdot 0 + 1 cdot 1 + (-1) cdot (-1) 0 cdot 0 + (-1) cdot 1 + 1 cdot (-1) e^2 t = 2 0 +1 -1 0 +1 +1 0 -1 -1 e^2 t = 2 0 2 -2 e^2 t = 0 4 e^2 t -4 e^2 t
Para o segundo termo:
-6 e^-t 8 e^-t 4 e^-t + 0 4 e^2 t -4 e^2 t = -6 e^-t 8 e^-t + 4 e^2 t 4 e^-t - 4 e^2 t
Somando os dois resultados:

Resposta

Como -6 e^-t 8 e^-t + 4 e^2 t 4 e^-t - 4 e^2 t é igual a -6 e^-t 8 e^-t + 4 e^2 t 4 e^-t - 4 e^2 t , o vetor satisfaz a equação diferencial.

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