Nos seguintes problemas verifique que o vetor dado satisfaz a equação diferencial:
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Passo 1
Vamos resolver o primeiro problema. A gente precisa verificar se o vetor dado 4 2 satisfaz a equação diferencial 3 & -2 2 & -2 . Para isso, vamos calcular a derivada de em relação a e ver se ela é igual ao produto da matriz pelo vetor .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de X^prime = ddt ( 4 2 e^2 t ) = 4 2 cdot ddt (e^2 t) = 4 2 cdot 2 e^2 t = 8 e^2 t 4 e^2 t em relação a . A derivada de um vetor é simplesmente a derivada de cada uma de suas componentes. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto da matriz pelo vetor 3 & -2 2 & -2 cdot 4 2 e^2 t = 3 cdot 4 + (-2) cdot 2 2 cdot 4 + (-2) cdot 2 e^2 t = 12 - 4 8 - 4 e^2 t = 8 e^2 t 4 e^2 t :
Passo 4
Agora, vamos verificar o segundo problema. Precisamos confirmar se o vetor dado
Y = 6 -8 -4 e^-t + 2 0 1 -1 e^2 t
satisfaz a equação diferencial
Y^prime = 1 & 1 & 1 2 & 1 & -1 0 & -1 & 1 Y
A gente vai calcular a derivada de e o produto da matriz por para ver se são iguais.
Passo 5
Primeiro, vamos calcular a derivada de Y^prime = ddt ( 6 -8 -4 e^-t + 2 0 1 -1 e^2 t ) :
Y^prime = 6 -8 -4 (-1) e^-t + 2 0 1 -1 (2) e^2 t = -6 e^-t 8 e^-t 4 e^-t + 0 4 e^2 t -4 e^2 t = -6 e^-t 8 e^-t + 4 e^2 t 4 e^-t - 4 e^2 t
Derivando cada termo:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto da matriz pela 1 & 1 & 1 2 & 1 & -1 0 & -1 & 1 cdot ( 6 -8 -4 e^-t + 2 0 1 -1 e^2 t ) :