Seja VS o volume do sólido S no semi-espaço z ≥ 0 delimitado pelo plano y = 0, pelo plano x = 1, pelo plano x - y = 0 e pelo paraboloide z = x^2 + y^2. Então VS vale

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido que está no espaço onde . Esse sólido é delimitado por alguns planos e um paraboloide. Vamos usar o conteúdo de Cálculo de Volumes usando Integrais Duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e aplicar a integral dupla para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar os limites no plano . Temos três planos que delimitam a região:
  1. – o eixo .
  2. – uma linha vertical em .
  3. ou – uma linha que passa pela origem com inclinação 45°.
Vamos desenhar essas linhas no plano para identificar a região de integração.

Passo 3

Analisando as interseções:
  • e se cruzam em .
  • e se cruzam em .
  • e se cruzam em .
Portanto, a região de integração é um triângulo com vértices em , e .

Passo 4

Agora, vamos configurar os limites de integração. Para facilitar, vamos integrar primeiro em e depois em .
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de 0 a .

Passo 5

A função que descreve o paraboloide é . O volume será a integral dupla dessa função sobre a região que definimos.
Então, podemos escrever o volume como:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, integrando em relação a :

Passo 7

Agora, vamos integrar o resultado em relação a :

Resposta

O volume vale unidades cúbicas.

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