Seja o volume do sólido no semi-espaço delimitado pelo plano , pelo plano , pelo plano e pelo paraboloide . Então vale
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido que está no espaço onde . Esse sólido é delimitado por alguns planos e um paraboloide. Vamos usar o conteúdo de Cálculo de Volumes usando Integrais Duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e aplicar a integral dupla para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar os limites no plano . Temos três planos que delimitam a região:
– o eixo .
– uma linha vertical em .
ou – uma linha que passa pela origem com inclinação 45°.
Vamos desenhar essas linhas no plano para identificar a região de integração.
Passo 3
Analisando as interseções:
e se cruzam em .
e se cruzam em .
e se cruzam em .
Portanto, a região de integração é um triângulo com vértices em , e .
Passo 4
Agora, vamos configurar os limites de integração. Para facilitar, vamos integrar primeiro em e depois em .
varia de 0 a 1.
Para cada , varia de 0 a .
Passo 5
A função que descreve o paraboloide é . O volume será a integral dupla dessa função sobre a região que definimos.
Então, podemos escrever o volume como:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, integrando em relação a :