Nos Problemas 19 a 23, determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto .
Passo 1
Beleza, o que a gente precisa aqui é encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto onde . Isso envolve conhecimentos de derivadas para achar a inclinação da reta tangente e depois usar essa inclinação para montar a equação da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de quando . Substituindo na equação:
Então, o ponto de tangência é .
Passo 3
Agora, precisamos achar a derivada de em relação a , ou seja, , para descobrir a inclinação da reta tangente no ponto .
Primeiro, vamos reescrever para facilitar a derivação:
Aplicamos a regra do produto para derivadas, que diz que se , então:
Aqui, e .
Primeiro, derivamos em relação a :
Depois, derivamos :
Agora, aplicamos a regra do produto:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão da derivada substituindo :
Então, a inclinação da reta tangente é .
Passo 5
Com o ponto e a inclinação , usamos a fórmula da reta tangente: