Nos Problemas 19 a 23, determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto .

Passo 1

Beleza, o que a gente precisa aqui é encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto onde . Isso envolve conhecimentos de derivadas para achar a inclinação da reta tangente e depois usar essa inclinação para montar a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de quando . Substituindo na equação:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada de em relação a , ou seja, , para descobrir a inclinação da reta tangente no ponto .
Primeiro, vamos reescrever para facilitar a derivação:
Aplicamos a regra do produto para derivadas, que diz que se , então:
Aqui, e .
Primeiro, derivamos em relação a :
Depois, derivamos :
Agora, aplicamos a regra do produto:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão da derivada substituindo :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com o ponto e a inclinação , usamos a fórmula da reta tangente:
Substituindo os valores:
Podemos deixar assim ou resolver para :

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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Seja o volume do sólido no semi-espaço delimitado pelo plano , pelo plano , pelo plano e pelo paraboloide . Então vale
Nos seguintes problemas verifique que o vetor dado satisfaz a equação diferencial:
  1. .
  2. .
Uma espira de fio tem a forma de um triângulo retângulo e conduz uma corrente A. Um campo magnético uniforme é direcionado paralelamente ao lado e tem um módulo de .
a) Encontre o módulo e direção da força magnética exercida em cada lado do triângulo.
b) Determine o módulo da força resultante exercida sobre o triângulo.
Determine e :
(23.2)