Quais das seguintes proposições são verdadeiras?
a) N ⊆ Q
b) Z ⊆ Q
c) 0 em Q
d) 517 em Q
e) 0,474747... é um número racional
f) {4/7, 11/3} ⊆ Q
g) 1 ∈ Q - Z
h) 2/7 in Q - Z
i) 14/2 in Q - Z
j) 21/14 é irredutível
k) 121/147 < 131/150
I) r em Q => -r em Q

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado apresenta várias proposições envolvendo conjuntos numéricos como os naturais ( N), inteiros ( Z), racionais ( Q) e também algumas afirmações sobre números específicos. Nosso objetivo é verificar quais dessas proposições são verdadeiras. Para isso, vamos lembrar das definições desses conjuntos e como eles se relacionam.

Passo 2

Proposição a) N ⊆ Q
Primeiro, N representa os números naturais (1, 2, 3, …) e Q os números racionais, que são todas as frações possíveis onde numerador e denominador são inteiros e o denominador não é zero.
Como todo número natural pode ser escrito como uma fração com denominador 1 (por exemplo, 3 = ), então todo número natural é também um número racional. Portanto, N ⊆ Q é verdadeiro.

Passo 3

Proposição b) Z ⊆ Q
Z são os números inteiros (…, -2, -1, 0, 1, 2, …). Novamente, qualquer inteiro pode ser escrito como uma fração com denominador 1 (por exemplo, -2 = ). Assim, todo número inteiro é um número racional. Logo, Z ⊆ Q é verdadeiro.

Passo 4

Proposição c) 0 em Q
0 pode ser representado como , que é uma fração onde o numerador é 0 e o denominador é 1 (não zero). Isso satisfaz a definição de número racional. Portanto, 0 em Q é verdadeiro.

Passo 5

Proposição d) 517 em Q
Como explicado antes, qualquer número inteiro pode ser escrito como uma fração com denominador 1. Assim, 517 = . Portanto, 517 em Q é verdadeiro.

Passo 6

Proposição e) 0,474747... é um número racional
O número é uma dízima periódica, que pode ser escrita como uma fração. De fato, podemos expressá-lo como . Portanto, esse número é racional, ou seja, 0,474747... é um número racional é verdadeiro.

Passo 7

Proposição f) {4/7, 11/3} ⊆ Q
Estamos verificando se ambos os elementos do conjunto são números racionais. Tanto 4/7 quanto são frações de inteiros com denominador diferente de zero. Logo, ambos pertencem a Q. Portanto, {4/7, 11/3} ⊆ Q é verdadeiro.

Passo 8

Proposição g) 1 ∈ Q - Z
Aqui, representa os números racionais que não são inteiros. O número 1 é um inteiro, pois pertence a Z. Portanto, 1 não está em . Assim, 1 ∈ Q - Z é falso.

Passo 9

Proposição h) 2/7 in Q - Z
é uma fração que não pode ser simplificada para um número inteiro, já que 7 não divide 2. Portanto, é um número racional que não é inteiro, ou seja, pertence a . Assim, 2/7 in Q - Z é verdadeiro.

Passo 10

Proposição i) 14/2 in Q - Z
Vamos simplificar : , que é um número inteiro. Portanto, 7 pertence a Z e não a . Assim, 14/2 in Q - Z é falso.

Passo 11

Proposição j) 21/14 é irredutível
Uma fração é irredutível quando o numerador e o denominador não têm nenhum divisor comum além de 1. Simplificando 21/14, dividimos ambos por 7: . Como simplificamos, a fração original não é irredutível. Portanto, 21/14 não é irredutível, tornando a proposição falsa.

Passo 12

Proposição k)
Para comparar essas frações, podemos encontrar um denominador comum ou converter para decimais:

Como , então é verdadeiro.

Passo 13

Proposição I)
Se r é um número racional, então também pode ser escrito como uma fração, já que a multiplicação por -1 não altera a natureza racional do número. Portanto, se r pertence a Q, então . Logo, a proposição é verdadeira.

Resposta

As proposições verdadeiras são:
a) N ⊆ Q
b) Z ⊆ Q
c) 0 em Q
d) 517 em Q
e) 0,474747... é um número racional
f) {4/7, 11/3} ⊆ Q
h) 2/7 in Q - Z
k) 121/147 < 131/150
I)
As proposições g), i) e j) são falsas.

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