Quais das seguintes proposições são verdadeiras?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
é irredutível
k)
I)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
I)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado apresenta várias proposições envolvendo conjuntos numéricos como os naturais (
), inteiros (
), racionais (
) e também algumas afirmações sobre números específicos. Nosso objetivo é verificar quais dessas proposições são verdadeiras. Para isso, vamos lembrar das definições desses conjuntos e como eles se relacionam.
Passo 2
Proposição a)
Primeiro,
representa os números naturais (1, 2, 3, …) e
os números racionais, que são todas as frações possíveis onde numerador e denominador são inteiros e o denominador não é zero.
Como todo número natural pode ser escrito como uma fração com denominador 1 (por exemplo, 3 =
), então todo número natural é também um número racional. Portanto,
é verdadeiro.
Passo 3
Proposição b)
Passo 4
Proposição c)
0 pode ser representado como
, que é uma fração onde o numerador é 0 e o denominador é 1 (não zero). Isso satisfaz a definição de número racional. Portanto,
é verdadeiro.
Passo 5
Proposição d)
Como explicado antes, qualquer número inteiro pode ser escrito como uma fração com denominador 1. Assim, 517 =
. Portanto,
é verdadeiro.
Passo 6
Proposição e)
O número
é uma dízima periódica, que pode ser escrita como uma fração. De fato, podemos expressá-lo como
. Portanto, esse número é racional, ou seja,
é verdadeiro.
Passo 7
Proposição f)
Estamos verificando se ambos os elementos do conjunto são números racionais. Tanto
quanto
são frações de inteiros com denominador diferente de zero. Logo, ambos pertencem a
. Portanto,
é verdadeiro.
Passo 8
Proposição g)
Aqui,
representa os números racionais que não são inteiros. O número 1 é um inteiro, pois pertence a
. Portanto, 1 não está em
. Assim,
é falso.
Passo 9
Proposição h)
Passo 10
Proposição i)
Vamos simplificar
:
, que é um número inteiro. Portanto, 7 pertence a
e não a
. Assim,
é falso.
Passo 11
Proposição j)
é irredutível
Uma fração é irredutível quando o numerador e o denominador não têm nenhum divisor comum além de 1. Simplificando
, dividimos ambos por 7:
. Como simplificamos, a fração original não é irredutível. Portanto,
não é irredutível, tornando a proposição falsa.
Passo 12
Proposição k)
Para comparar essas frações, podemos encontrar um denominador comum ou converter para decimais:
Como
, então
é verdadeiro.
Passo 13
Proposição I)
Se
é um número racional, então
também pode ser escrito como uma fração, já que a multiplicação por -1 não altera a natureza racional do número. Portanto, se
, então
. Logo, a proposição é verdadeira.
Resposta
As proposições verdadeiras são:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
h)
k)
I)
b)
c)
d)
e)
f)
h)
k)
I)
As proposições g), i) e j) são falsas.
Exercícios relacionados
O custo diário de produção de uma indústria de aparelhos de telefones é dado pela função
2500 , onde
é o custo em dólares e
é o número de unidades fabricadas.
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento dessa função.
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento dessa função.
Quais das proposições abaixo são verdadeiras?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
O valor de
, com
, de modo que o valor máximo da função
seja 1 é:
a) -3
b) 3
c) -4
d) 4
e) 10
a) -3
b) 3
c) -4
d) 4
e) 10
Coloque em ordem crescente os seguintes números racionais: