Quais das seguintes proposições são verdadeiras?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j) é irredutível
k)
I)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado apresenta várias proposições envolvendo conjuntos numéricos como os naturais ( ), inteiros ( ), racionais ( ) e também algumas afirmações sobre números específicos. Nosso objetivo é verificar quais dessas proposições são verdadeiras. Para isso, vamos lembrar das definições desses conjuntos e como eles se relacionam.

Passo 2

Proposição a)
Primeiro, representa os números naturais (1, 2, 3, …) e os números racionais, que são todas as frações possíveis onde numerador e denominador são inteiros e o denominador não é zero.
Como todo número natural pode ser escrito como uma fração com denominador 1 (por exemplo, 3 = ), então todo número natural é também um número racional. Portanto, é verdadeiro.

Passo 3

Proposição b)
são os números inteiros (…, -2, -1, 0, 1, 2, …). Novamente, qualquer inteiro pode ser escrito como uma fração com denominador 1 (por exemplo, -2 = ). Assim, todo número inteiro é um número racional. Logo, é verdadeiro.

Passo 4

Proposição c)
0 pode ser representado como , que é uma fração onde o numerador é 0 e o denominador é 1 (não zero). Isso satisfaz a definição de número racional. Portanto, é verdadeiro.

Passo 5

Proposição d)
Como explicado antes, qualquer número inteiro pode ser escrito como uma fração com denominador 1. Assim, 517 = . Portanto, é verdadeiro.

Passo 6

Proposição e)
O número é uma dízima periódica, que pode ser escrita como uma fração. De fato, podemos expressá-lo como . Portanto, esse número é racional, ou seja, é verdadeiro.

Passo 7

Proposição f)
Estamos verificando se ambos os elementos do conjunto são números racionais. Tanto quanto são frações de inteiros com denominador diferente de zero. Logo, ambos pertencem a . Portanto, é verdadeiro.

Passo 8

Proposição g)
Aqui, representa os números racionais que não são inteiros. O número 1 é um inteiro, pois pertence a . Portanto, 1 não está em . Assim, é falso.

Passo 9

Proposição h)
é uma fração que não pode ser simplificada para um número inteiro, já que 7 não divide 2. Portanto, é um número racional que não é inteiro, ou seja, pertence a . Assim, é verdadeiro.

Passo 10

Proposição i)
Vamos simplificar : , que é um número inteiro. Portanto, 7 pertence a e não a . Assim, é falso.

Passo 11

Proposição j) é irredutível
Uma fração é irredutível quando o numerador e o denominador não têm nenhum divisor comum além de 1. Simplificando , dividimos ambos por 7: . Como simplificamos, a fração original não é irredutível. Portanto, não é irredutível, tornando a proposição falsa.

Passo 12

Proposição k)
Para comparar essas frações, podemos encontrar um denominador comum ou converter para decimais:

Como , então é verdadeiro.

Passo 13

Proposição I)
Se é um número racional, então também pode ser escrito como uma fração, já que a multiplicação por -1 não altera a natureza racional do número. Portanto, se , então . Logo, a proposição é verdadeira.

Resposta

As proposições verdadeiras são:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
h)
k)
I)
As proposições g), i) e j) são falsas.

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O custo diário de produção de uma indústria de aparelhos de telefones é dado pela função 2500 , onde é o custo em dólares e é o número de unidades fabricadas.
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento dessa função.
Quais das proposições abaixo são verdadeiras?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
O valor de , com , de modo que o valor máximo da função seja 1 é:
a) -3
b) 3
c) -4
d) 4
e) 10
Coloque em ordem crescente os seguintes números racionais: