Quais das seguintes relações são verdadeiras?
(b) (A cup B)=(A cap B^comp<=ment) cup B

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma relação entre conjuntos que precisa verificar se é verdadeira ou não. Aqui, estamos trabalhando com união, interseção e complemento de conjuntos. O que vamos precisar nesse exercício é entender bem essas operações e ver se, de fato, a relação é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que cada uma dessas operações significa:
  • União ( ): É o conjunto que contém todos os elementos que estão em ou em ou em ambos.
  • Interseção ( ): É o conjunto que contém só os elementos que estão tanto em quanto em .
  • Complemento ( ): É o conjunto de todos os elementos que não estão em .

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão do lado direito da igualdade: . Aqui, estamos pegando a interseção de com o complemento de , ou seja, os elementos que estão em mas não estão em . Depois, estamos fazendo a união disso com .

Passo 4

Para ver se é igual a , vamos analisar quais elementos estão em cada um desses conjuntos:
  • Elementos em : Qualquer elemento que está em , em , ou em ambos.
  • Elementos em :
    • : Elementos que estão em mas não em .
    • Fazendo a união com : Adicionamos todos os elementos que estão em .
Então, basicamente, estamos incluindo todos os elementos que estão em (mesmo se não estão em ) e todos os que estão em . Isso cobre exatamente os elementos que estão em ou em , que é o que define .

Passo 5

Para confirmar matematicamente, podemos dizer que:
(A cup B) = (A cap B^comp<=ment) cup B
Isto porque qualquer elemento que está em já está incluído em , e vice-versa.

Resposta

A relação é verdadeira.

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