Quais das seguintes relações são verdadeiras?
(d) (A cup B)^comp<=ment cap C=A^comp<=ment cap B^comp<=ment cap C

Passo 1

Vamos analisar a relação (A cup B)^comp<=ment cap C = A^comp<=ment cap B^comp<=ment cap C. Aqui, estamos trabalhando com Teoria dos Conjuntos, especificamente com operações como união, interseção e complementação. Para resolver, precisamos entender como o complemento de uma união se relaciona com a interseção dos complementos individuais, além de aplicar essas operações com o conjunto C.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa cada operação:
  • União ( cup): A cup B é o conjunto de elementos que estão em A, em B, ou em ambos.
  • Complemento ( ^comp<=ment): (A cup B)^comp<=ment é o conjunto de elementos que não estão em A cup B.
  • Interseção ( cap): (A cup B)^comp<=ment cap C é o conjunto de elementos que estão não em A cup B e estão em C.

Passo 3

Vamos aplicar a Lei de De Morgan, que nos diz que o complemento de uma união é igual à interseção dos complementos individuais. Em fórmulas:
(A cup B)^comp<=ment = A^comp<=ment cap B^comp<=ment
Isso significa que (A cup B)^comp<=ment é exatamente A^comp<=ment cap B^comp<=ment.

Passo 4

Substituindo essa igualdade na expressão original, temos:
(A cup B)^comp<=ment cap C = (A^comp<=ment cap B^comp<=ment) cap C
Como a interseção é associativa, podemos reescrever isso como:
A^comp<=ment cap B^comp<=ment cap C
O que mostra que as duas expressões são iguais.

Resposta

A relação (A cup B)^comp<=ment cap C = A^comp<=ment cap B^comp<=ment cap C é verdadeira.

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