Seja
um espaço vetorial de matrizes
. Considere a função
. Verifique que essa função é uma forma bilinear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma certa função definida sobre matrizes
é uma forma bilinear. A gente vai precisar usar conceitos de espaços vetoriais, determinantes e o que é uma forma bilinear. Basicamente, vamos checar se a função se comporta de maneira linear em cada um dos dois argumentos separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma forma bilinear. Uma forma bilinear
deve ser linear em cada variável quando a outra é fixada. Isso significa que, para todo
e escalar
:
-
-
E também as mesmas propriedades valem trocandoe .
Passo 3
Vamos começar verificando a primeira propriedade, ou seja, se a função é linear no primeiro argumento. Vamos considerar duas matrizes
e
e ver o que acontece com
.
Passo 4
Calculando
:
Simplificando o argumento do determinante:
Por propriedade do determinante,
não se simplifica facilmente, então vamos olhar de outra maneira.
Passo 5
Na verdade, observe que a função
está relacionada ao determinante. Sabemos que o determinante é uma função multilinear apenas quando os argumentos são vetores, mas aqui estamos trabalhando com matrizes. Vamos então focar em propriedades mais específicas.
Passo 6
Vamos considerar as propriedades bilineares específicas:
-
Linearidade no primeiro argumento:Isso não necessariamente se separa em
de forma direta. -
Homogeneidade no primeiro argumento:Novamente, o determinante de
não é simplesmente .
Passo 7
Percebo que minha abordagem inicial não está funcionando bem. Vamos tentar expandir o determinante para ver se conseguimos alguma simplificação.
Para uma matriz
:
Passo 8
Vamos escrever
e
como:
Então,
Passo 9
Agora, vamos calcular cada parte da função
:
Substituindo na função:
Passo 10
Vamos expandir e simplificar
:
Observando os termos, vemos que
e
se cancelam, assim como
e
,
e
,
e
. Sobram:
Ou seja:
Passo 11
Agora, vamos verificar se essa expressão é bilinear. Vamos checar a linearidade em cada argumento.
Linearidade no primeiro argumento:
Tomemos :
Tomemos
E para o escalar
:
O último termo parece não ser homogêneo, mas na verdade, foi um erro na expansão anterior. Corrigindo:
Na verdade, isso não é linear porque os termos
e
não dependem de
.
Passo 12
Percebi que houve uma confusão na análise. Vamos refazer a verificação da bilinearidade com a expressão simplificada:
Agora, verificando a linearidade no primeiro argumento:
E para o escalar
:
Isso sugere que a função não é completamente linear, mas apenas parcialmente.
Passo 13
Após uma análise detalhada, percebemos que a função
não satisfaz todas as propriedades de linearidade necessárias para ser considerada uma forma bilinear em todos os seus argumentos, pois a presença de termos cruzados impede uma linearidade completa.
Resposta
Concluímos que a função
não é uma forma bilinear, pois não satisfaz todas as propriedades de linearidade exigidas.
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Qual dos seguintes são formas quadráticas, justifique cada um deles.
-
tal que . -
tal que . -
tal que .
Escreva
como combinação linear de
, onde:
a)
b) .
a)
b)