Seja um espaço vetorial de matrizes . Considere a função . Verifique que essa função é uma forma bilinear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma certa função definida sobre matrizes é uma forma bilinear. A gente vai precisar usar conceitos de espaços vetoriais, determinantes e o que é uma forma bilinear. Basicamente, vamos checar se a função se comporta de maneira linear em cada um dos dois argumentos separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma forma bilinear. Uma forma bilinear deve ser linear em cada variável quando a outra é fixada. Isso significa que, para todo e escalar :

  1. E também as mesmas propriedades valem trocando e .

Passo 3

Vamos começar verificando a primeira propriedade, ou seja, se a função é linear no primeiro argumento. Vamos considerar duas matrizes e e ver o que acontece com .

Passo 4

Calculando :
Simplificando o argumento do determinante:
Por propriedade do determinante, não se simplifica facilmente, então vamos olhar de outra maneira.

Passo 5

Na verdade, observe que a função está relacionada ao determinante. Sabemos que o determinante é uma função multilinear apenas quando os argumentos são vetores, mas aqui estamos trabalhando com matrizes. Vamos então focar em propriedades mais específicas.

Passo 6

Vamos considerar as propriedades bilineares específicas:
  1. Linearidade no primeiro argumento:
    Isso não necessariamente se separa em de forma direta.
  2. Homogeneidade no primeiro argumento:
    Novamente, o determinante de não é simplesmente .

Passo 7

Percebo que minha abordagem inicial não está funcionando bem. Vamos tentar expandir o determinante para ver se conseguimos alguma simplificação.
Para uma matriz :

Passo 8

Vamos escrever e como:
Então,

Passo 9

Agora, vamos calcular cada parte da função :
Substituindo na função:

Passo 10

Vamos expandir e simplificar :
Observando os termos, vemos que e se cancelam, assim como e , e , e . Sobram:
Ou seja:

Passo 11

Agora, vamos verificar se essa expressão é bilinear. Vamos checar a linearidade em cada argumento.
Linearidade no primeiro argumento:
Tomemos :
E para o escalar :
O último termo parece não ser homogêneo, mas na verdade, foi um erro na expansão anterior. Corrigindo:
Na verdade, isso não é linear porque os termos e não dependem de .

Passo 12

Percebi que houve uma confusão na análise. Vamos refazer a verificação da bilinearidade com a expressão simplificada:
Agora, verificando a linearidade no primeiro argumento:
E para o escalar :
Isso sugere que a função não é completamente linear, mas apenas parcialmente.

Passo 13

Após uma análise detalhada, percebemos que a função não satisfaz todas as propriedades de linearidade necessárias para ser considerada uma forma bilinear em todos os seus argumentos, pois a presença de termos cruzados impede uma linearidade completa.

Resposta

Concluímos que a função não é uma forma bilinear, pois não satisfaz todas as propriedades de linearidade exigidas.

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  • tal que .
  • tal que .
Escreva como combinação linear de , onde:
a)
b) .