Seja V um espaço vetorial de matrizes 2 times 2. Considere a função =det(A+B)-det(A)-det(B). Verifique que essa função é uma forma bilinear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma certa função definida sobre matrizes é uma forma bilinear. A gente vai precisar usar conceitos de espaços vetoriais, determinantes e o que é uma forma bilinear. Basicamente, vamos checar se a função se comporta de maneira linear em cada um dos dois argumentos separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma forma bilinear. Uma forma bilinear deve ser linear em cada variável quando a outra é fixada. Isso significa que, para todo e escalar :

  1. E também as mesmas propriedades valem trocando e .

Passo 3

Vamos começar verificando a primeira propriedade, ou seja, se a função é linear no primeiro argumento. Vamos considerar duas matrizes e e ver o que acontece com .

Passo 4

Calculando lang<= A + A', B rang<= = det((A + A') + B) - det(A + A') - det(B) :
= det(A + A' + B) - det(A + A') - det(B)
Simplificando o argumento do determinante:
Por propriedade do determinante, não se simplifica facilmente, então vamos olhar de outra maneira.

Passo 5

Na verdade, observe que a função está relacionada ao determinante. Sabemos que o determinante é uma função multilinear apenas quando os argumentos são vetores, mas aqui estamos trabalhando com matrizes. Vamos então focar em propriedades mais específicas.

Passo 6

Vamos considerar as propriedades bilineares específicas:
  1. Linearidade no primeiro argumento:
    lang<= A + A', B rang<= = det(A + A' + B) - det(A + A') - det(B)
    Isso não necessariamente se separa em lang<= cA, B rang<= = det(cA + B) - det(cA) - det(B) de forma direta.
  2. Homogeneidade no primeiro argumento:
    Novamente, o determinante de não é simplesmente .

Passo 7

Percebo que minha abordagem inicial não está funcionando bem. Vamos tentar expandir o determinante para ver se conseguimos alguma simplificação.
Para uma matriz det a & b c & d = ad - bc :

Passo 8

Vamos escrever A = a & b c & d , B = e & f g & h e a+e & b+f c+g & d+h como:
Então,

Passo 9

Agora, vamos calcular cada parte da função det(A + B) = (a + e)(d + h) - (b + f)(c + g) :
det(A) = ad - bc
det(B) = eh - fg
lang<= A, B rang<= = [(a + e)(d + h) - (b + f)(c + g)] - (ad - bc) - (eh - fg)
Substituindo na função:

Passo 10

Vamos expandir e simplificar = ad + ah + ed + eh - bc - bg - fc - fg - ad + bc - eh + fg :
= ah + ed - bg - fc
Observando os termos, vemos que lang<= A, B rang<= = a h + e d - b g - f c e se cancelam, assim como e , e , e . Sobram:
Ou seja:

Passo 11

Agora, vamos verificar se essa expressão é bilinear. Vamos checar a linearidade em cada argumento.
Linearidade no primeiro argumento:
Tomemos lang<= A + A', B rang<= = (a + a')h + e(d + d') - b g - f(c + c') = (a h + e d - b g - f c) + (a' h + e d' - f c') = lang<= A, B rang<= + lang<= A', B rang<= :
lang<= cA, B rang<= = (c a)h + e(d c) - b g - f(c c) = c(a h + e d) - b g - f c
E para o escalar lang<= cA, B rang<= = (c a)h + e(d c) - b g - f(c c) = c(a h + e d) - b g - f c :
O último termo parece não ser homogêneo, mas na verdade, foi um erro na expansão anterior. Corrigindo:
Na verdade, isso não é linear porque os termos e não dependem de .

Passo 12

Percebi que houve uma confusão na análise. Vamos refazer a verificação da bilinearidade com a expressão simplificada:
lang<= A, B rang<= = a h + e d - b g - f c
Agora, verificando a linearidade no primeiro argumento:
lang<= A + A', B rang<= = (a + a') h + e (d + d') - (b + b') g - f (c + c') = a h + a' h + e d + e d' - b g - b' g - f c - f c' = lang<= A, B rang<= + lang<= A', B rang<=
E para o escalar lang<= kA, B rang<= = (k a) h + e (k d) - b g - f (k c) = k(a h + e d) - b g - k f c = k(a h + e d - f c) - b g = k lang<= A, B rang<= - b g :
Isso sugere que a função não é completamente linear, mas apenas parcialmente.

Passo 13

Após uma análise detalhada, percebemos que a função não satisfaz todas as propriedades de linearidade necessárias para ser considerada uma forma bilinear em todos os seus argumentos, pois a presença de termos cruzados impede uma linearidade completa.

Resposta

Concluímos que a função não é uma forma bilinear, pois não satisfaz todas as propriedades de linearidade exigidas.

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