Quais das seguintes são operações matemáticas legitimas: (a) A cdot(B-C); (b) $(\vec{A}-\vec{B}) \times \vec{C} $; © $\vec{A} \cdot(\vec{B} \times \vec{C}) $; (d) (A-B) times C
em cada caso.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre operações com vetores! O exercício apresenta quatro expressões envolvendo vetores e pede para a gente identificar quais são operações matemáticas legítimas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são produto escalar (ponto) e produto vetorial (cruz) entre vetores, e quando essas operações são permitidas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na opção (a): A cdot (B - C). Aqui temos o produto escalar entre o vetor A e a diferença entre os vetores B e C. O produto escalar está definido quando os dois vetores têm o mesmo número de componentes, ou seja, ambos são vetores de mesmo espaço. Além disso, a subtração B - C também é válida se B e C tiverem a mesma dimensão. Portanto, essa operação é legítima.

Passo 3

Agora, vamos para a opção (b): (A - B) times C. Aqui temos o produto vetorial entre a diferença de A e B e o vetor C. O produto vetorial só é definido em espaços tridimensionais, ou seja, quando os vetores têm exatamente três componentes. Se A, B e C são vetores no espaço tridimensional, essa operação é legítima.

Passo 4

Vamos analisar a opção ©: A cdot (B times C). Essa expressão envolve primeiro o produto vetorial entre B e C, que resulta em um vetor, e depois o produto escalar desse resultado com A. Para que tudo dê certo, B e C precisam ser vetores tridimensionais para o produto vetorial ser válido, e A também deve ser tridimensional para realizar o produto escalar com o resultado. Portanto, essa operação também é legítima.

Passo 5

Por fim, vamos ver a opção (d): A times (B times C). Aqui temos um produto vetorial entre A e o produto vetorial entre B e C. Novamente, isso só é válido em espaço tridimensional. Além disso, o resultado de B times C é um vetor, e então fazemos o produto vetorial com A. Então, se todos os vetores forem tridimensionais, essa operação é legítima.

Resposta

Todas as operações (a), (b), © e (d) são matematicamente legítimas, desde que os vetores envolvidos sejam tridimensionais.

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