Quais das seguintes são operações matemáticas legitimas: (a)
; (b) $(\vec{A}-\vec{B}) \times \vec{C} $; © $\vec{A} \cdot(\vec{B} \times \vec{C}) $; (d)
em cada caso.
em cada caso.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre operações com vetores! O exercício apresenta quatro expressões envolvendo vetores e pede para a gente identificar quais são operações matemáticas legítimas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são produto escalar (ponto) e produto vetorial (cruz) entre vetores, e quando essas operações são permitidas.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na opção (a):
. Aqui temos o produto escalar entre o vetor
e a diferença entre os vetores
e
. O produto escalar está definido quando os dois vetores têm o mesmo número de componentes, ou seja, ambos são vetores de mesmo espaço. Além disso, a subtração
também é válida se
e
tiverem a mesma dimensão. Portanto, essa operação é legítima.
Passo 3
Agora, vamos para a opção (b):
. Aqui temos o produto vetorial entre a diferença de
e
e o vetor
. O produto vetorial só é definido em espaços tridimensionais, ou seja, quando os vetores têm exatamente três componentes. Se
,
e
são vetores no espaço tridimensional, essa operação é legítima.
Passo 4
Vamos analisar a opção ©:
. Essa expressão envolve primeiro o produto vetorial entre
e
, que resulta em um vetor, e depois o produto escalar desse resultado com
. Para que tudo dê certo,
e
precisam ser vetores tridimensionais para o produto vetorial ser válido, e
também deve ser tridimensional para realizar o produto escalar com o resultado. Portanto, essa operação também é legítima.
Passo 5
Por fim, vamos ver a opção (d):
. Aqui temos um produto vetorial entre
e o produto vetorial entre
e
. Novamente, isso só é válido em espaço tridimensional. Além disso, o resultado de
é um vetor, e então fazemos o produto vetorial com
. Então, se todos os vetores forem tridimensionais, essa operação é legítima.
Resposta
Todas as operações (a), (b), © e (d) são matematicamente legítimas, desde que os vetores envolvidos sejam tridimensionais.