Dados dois vetores A=4,00 i+7,00 j e B=5,00 i-2,00 j, ache o módulo e a direção da diferença vetorial A-B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, e . O objetivo aqui é encontrar o módulo (ou seja, o tamanho) e a direção da diferença entre esses dois vetores, ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como subtração de vetores, módulo de vetor e trigonometria para achar a direção.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a diferença vetorial A - B = (4,00, i + 7,00, j) - (5,00, i - 2,00, j) . Isso significa que subtraímos as componentes correspondentes dos vetores A - B = (4,00 - 5,00), i + (7,00 - (-2,00)), j = (-1,00), i + 9,00, j e .
Vamos fazer a subtração componente a componente:
Então, a diferença vetorial é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o módulo desse vetor diferença. O módulo de um vetor |V| = raiza^2 + b^2 é dado pela fórmula:
|A - B| = raiz(-1,00)^2 + (9,00)^2 = raiz1,00 + 81,00 = raiz82,00 approx 9,06
Aplicando isso à nossa diferença vetorial:
Portanto, o módulo de é aproximadamente 9,06 unidades.

Passo 4

Agora vamos determinar a direção do vetor theta = arctan(ba) . A direção de um vetor no plano pode ser encontrada calculando o ângulo que ele forma com o eixo a = -1,00 e b = 9,00 (horizontal). Usamos a função tangente inversa (arctan) para isso:
theta = arctan(9,00-1,00) = arctan(-9,00)
Onde theta = 180^circ - arctan(9,001,00) approx 180^circ - 83,66^circ approx 96,34^circ e são as componentes do vetor. No nosso caso:
Então,
A função arctan de um valor negativo nos dá um ângulo no quarto quadrante, mas como a componente é negativa e é positiva, o vetor está no segundo quadrante. Para achar o ângulo correto:
Então, a direção de é aproximadamente 96,34° em relação ao eixo .

Resposta

A diferença vetorial tem módulo aproximadamente 9,06 unidades e direção de 96,34° em relação ao eixo .

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