verifique se os vetores sâo linearmente independentes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer saber se os vetores (nesse caso, matrizes) , e são linearmente independentes. Linearmente independentes significa que nenhuma dessas matrizes pode ser escrita como combinação linear das outras. Para verificar isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada matriz como um vetor. Cada matriz 2x2 pode ser representada como um vetor de 4 dimensões juntando seus elementos. Então, vamos reescrever as matrizes dessa forma:
A2 = 1 & 2 2 & 1 A2 = 1 2 2 1
A3 = 2 & 1 -2 & -1 A3 = 2 1 -2 -1
Passo 3
Agora, vamos criar uma matriz com essas três matrizes-vetor como colunas:
M = 1 & 1 & 2 -3 & 2 & 1 0 & 2 & -2 1 & 1 & -1
Para verificar se os vetores são linearmente independentes, precisamos ver se a única solução para a combinação linear é .
Passo 4
Vamos montar o sistema de equações a partir da matriz 1c1 + 1c2 + 2c3 = 0 -3c1 + 2c2 + 1c3 = 0 0c1 + 2c2 - 2c3 = 0 1c1 + 1c2 - 1c3 = 0 :
Vamos resolver esse sistema para encontrar os coeficientes .
Passo 5
Podemos resolver usando métodos de álgebra linear, como a eliminação de Gauss. Vamos simplificar o sistema:
Da primeira equação: → .
Substituindo na segunda equação: → → .
Da terceira equação: → .
Substituindo na equação : → → .
Então, e, consequentemente, .
Resposta
Como a única solução é , concluímos que os vetores , e são linearmente independentes.