Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais?
© O conjunto F subset F(R, R) formado pelas funçōes f tais que f(x+1)=f(x) para todo x in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se um certo conjunto de funções é um subespaço vetorial. Especificamente, estamos olhando para o conjunto F que é formado por todas as funções f: R R que satisfazem a condição f(x+1) = f(x) para todo x real. Nosso objetivo é ver se esse conjunto é um subespaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, um subespaço vetorial precisa cumprir três condições básicas:
  1. Conter o vetor zero: Ou seja, a função que é zero para todo x deve estar no conjunto.
  2. Fechado sob adição: Se pegarmos duas funções que estão no conjunto, a soma delas também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma função do conjunto por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.

Passo 3

Vamos verificar cada uma dessas condições para o nosso conjunto F.
1. Conter o vetor zero:
A função zero, definida por f(x) = 0 para todo x, claramente satisfaz f(x+1) = 0 = f(x). Então, a função zero está em F.
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar duas funções quaisquer f e g em F. Isso significa que f(x+1) = f(x) e g(x+1) = g(x) para todo x. Agora, considere a função (f + g)(x) = f(x) + g(x). Vamos ver se ela também satisfaz a condição:
(f + g)(x+1) = f(x+1) + g(x+1) = f(x) + g(x) = (f + g)(x)
Então, a soma de duas funções em F também está em F.
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Pegue uma função f em F e um escalar c in R. Defina a função cf por (cf)(x) = c cdot f(x). Vamos verificar:
(cf)(x+1) = c cdot f(x+1) = c cdot f(x) = (cf)(x)
Portanto, multiplicar uma função de F por um escalar também resulta em uma função que está em F.

Resposta

O conjunto F é um subespaço vetorial de F(R, R).

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