Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais?
© O conjunto
formado pelas funçōes
tais que
para todo
.
© O conjunto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se um certo conjunto de funções é um subespaço vetorial. Especificamente, estamos olhando para o conjunto
que é formado por todas as funções
que satisfazem a condição
para todo
real. Nosso objetivo é ver se esse conjunto é um subespaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, um subespaço vetorial precisa cumprir três condições básicas:
- Conter o vetor zero: Ou seja, a função que é zero para todo
deve estar no conjunto. - Fechado sob adição: Se pegarmos duas funções que estão no conjunto, a soma delas também deve estar no conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma função do conjunto por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Passo 3
Vamos verificar cada uma dessas condições para o nosso conjunto
.
1. Conter o vetor zero:
A função zero, definida por para todo
, claramente satisfaz
. Então, a função zero está em
.
A função zero, definida por
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar duas funções quaisquer e
em
. Isso significa que
e
para todo
. Agora, considere a função
. Vamos ver se ela também satisfaz a condição:
Vamos pegar duas funções quaisquer
Então, a soma de duas funções em
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Pegue uma função em
e um escalar
. Defina a função
por
. Vamos verificar:
Pegue uma função
Portanto, multiplicar uma função de
Resposta
O conjunto
é um subespaço vetorial de
.