Seja
uma matriz quadrada, mostre que:
(d) Se
é invertível, então
também é invertível e
.
(d) Se
Passo 1
Beleza, bora lá! A questão pede pra gente mostrar que se
é uma matriz invertível, então a adjunta de
, que é
, também é invertível. Além disso, tem que provar que o inverso da adjunta de
é igual a
. Vamos precisar saber sobre matrizes invertíveis, adjuntas e determinantes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a adjunta de uma matriz. A adjunta de
, escrita como
, é a matriz dos cofatores transposta de
. Uma propriedade importante é que:
onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Como
é invertível, sabemos que
. A partir da equação acima, podemos isolar
:
Passo 4
Agora, queremos mostrar que
também é invertível. Como
e
existe, a expressão
também é invertível. Isso porque o produto de um escalar não nulo com uma matriz invertível é invertível.
Passo 5
Para encontrar o inverso de
, chamemos de
. Sabemos que:
Para achar
, resolvemos:
Resposta
Então, mostramos que se
é invertível,
também é invertível e o inverso de
é dado por: