Seja A uma matriz quadrada, mostre que:
(d) Se A é invertível, então adj(A) também é invertível e (adj(A))^-1=1det A A.

Passo 1

Beleza, bora lá! A questão pede pra gente mostrar que se é uma matriz invertível, então a adjunta de , que é , também é invertível. Além disso, tem que provar que o inverso da adjunta de é igual a . Vamos precisar saber sobre matrizes invertíveis, adjuntas e determinantes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a adjunta de uma matriz. A adjunta de A cdot adj(A) = det(A) cdot I , escrita como , é a matriz dos cofatores transposta de . Uma propriedade importante é que:
onde é a matriz identidade.

Passo 3

Como adj(A) = det(A) cdot A^-1 é invertível, sabemos que . A partir da equação acima, podemos isolar :

Passo 4

Agora, queremos mostrar que também é invertível. Como e existe, a expressão também é invertível. Isso porque o produto de um escalar não nulo com uma matriz invertível é invertível.

Passo 5

Para encontrar o inverso de B = det(A) cdot A^-1 , chamemos de B^-1 = 1det(A) cdot A . Sabemos que:
Para achar , resolvemos:

Resposta

Então, mostramos que se (adj(A))^-1 = 1det A A é invertível, também é invertível e o inverso de é dado por:

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