Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais?
(f) O conjunto dos vetores v=(x, y) in R^2 tais que x^3+3 x=y^2+3 y.

Passo 1

Vamos analisar se o conjunto dos vetores que satisfazem a equação é um subespaço vetorial. Para isso, precisamos entender o que é um subespaço vetorial e quais propriedades ele deve cumprir. Vamos precisar verificar se este conjunto é fechado por adição e por multiplicação por escalar, que são as principais características de um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de deve cumprir três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar no conjunto.
  2. Fechado por adição: Se e estão no conjunto, então também deve estar.
  3. Fechado por multiplicação por escalar: Se está no conjunto e é um escalar, então também deve estar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto dado.

Passo 3

Verificando se contém o vetor zero:
Substituímos 0^3 + 3 cdot 0 = 0^2 + 3 cdot 0 implies 0 = 0 e na equação :
Portanto, o vetor zero está no conjunto.

Passo 4

Verificando fechamento por adição:
Vamos supor que temos dois vetores x1^3 + 3x1 = y1^2 + 3y1 e x2^3 + 3x2 = y2^2 + 3y2 no conjunto, ou seja:
(x1 + x2)^3 + 3(x1 + x2) stackrel?= (y1 + y2)^2 + 3(y1 + y2)
x1^3 + 3x1^2x2 + 3x1x2^2 + x2^3 + 3x1 + 3x2
Queremos verificar se y1^2 + 2y1y2 + y2^2 + 3y1 + 3y2 também está no conjunto. Substituindo na equação:
Expandindo o lado esquerdo:
E o lado direito:
Como podemos ver, essas expressões não são iguais em geral, a menos que condições muito específicas sejam satisfeitas, o que não é garantido para todos os vetores e no conjunto. Portanto, o conjunto não é fechado por adição.

Passo 5

Verificando fechamento por multiplicação por escalar:
Vamos considerar um vetor (c x)^3 + 3(c x) stackrel?= (c y)^2 + 3(c y) no conjunto e um escalar c^3x^3 + 3c x stackrel?= c^2y^2 + 3c y . Queremos verificar se c^3x^3 + 3c x = c^2y^2 + 3c y também está no conjunto. Substituindo na equação:
c^2x^3 + 3x = c y^2 + 3y
Para que isso seja verdade para qualquer escalar , precisaríamos que:
Dividindo ambos os lados por (assumindo ):
Novamente, isso não se mantém verdadeiro para todos os valores de e dos vetores , então o conjunto não é fechado por multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto dos vetores que satisfazem não é um subespaço vetorial.

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