Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais?
(f) O conjunto dos vetores
tais que
.
(f) O conjunto dos vetores
Passo 1
Vamos analisar se o conjunto dos vetores
que satisfazem a equação
é um subespaço vetorial. Para isso, precisamos entender o que é um subespaço vetorial e quais propriedades ele deve cumprir. Vamos precisar verificar se este conjunto é fechado por adição e por multiplicação por escalar, que são as principais características de um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de
deve cumprir três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar no conjunto. - Fechado por adição: Se
e estão no conjunto, então também deve estar. - Fechado por multiplicação por escalar: Se
está no conjunto e é um escalar, então também deve estar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto dado.
Passo 3
Verificando se contém o vetor zero:
Substituímos
e
na equação
:
Portanto, o vetor zero está no conjunto.
Passo 4
Verificando fechamento por adição:
Vamos supor que temos dois vetores
e
no conjunto, ou seja:
Queremos verificar se
também está no conjunto. Substituindo na equação:
Expandindo o lado esquerdo:
E o lado direito:
Como podemos ver, essas expressões não são iguais em geral, a menos que condições muito específicas sejam satisfeitas, o que não é garantido para todos os vetores
e
no conjunto. Portanto, o conjunto não é fechado por adição.
Passo 5
Verificando fechamento por multiplicação por escalar:
Vamos considerar um vetor
no conjunto e um escalar
. Queremos verificar se
também está no conjunto. Substituindo na equação:
Para que isso seja verdade para qualquer escalar
, precisaríamos que:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Novamente, isso não se mantém verdadeiro para todos os valores de
e dos vetores
, então o conjunto não é fechado por multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto dos vetores
que satisfazem
não é um subespaço vetorial.