Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais?
(f) O conjunto dos vetores tais que .
Passo 1
Vamos analisar se o conjunto dos vetores que satisfazem a equação é um subespaço vetorial. Para isso, precisamos entender o que é um subespaço vetorial e quais propriedades ele deve cumprir. Vamos precisar verificar se este conjunto é fechado por adição e por multiplicação por escalar, que são as principais características de um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de deve cumprir três condições:
Contém o vetor zero: O vetor deve estar no conjunto.
Fechado por adição: Se e estão no conjunto, então também deve estar.
Fechado por multiplicação por escalar: Se está no conjunto e é um escalar, então também deve estar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto dado.
Passo 3
Verificando se contém o vetor zero:
Substituímos e na equação :
Portanto, o vetor zero está no conjunto.
Passo 4
Verificando fechamento por adição:
Vamos supor que temos dois vetores e no conjunto, ou seja:
Queremos verificar se também está no conjunto. Substituindo na equação:
Expandindo o lado esquerdo:
E o lado direito:
Como podemos ver, essas expressões não são iguais em geral, a menos que condições muito específicas sejam satisfeitas, o que não é garantido para todos os vetores e no conjunto. Portanto, o conjunto não é fechado por adição.
Passo 5
Verificando fechamento por multiplicação por escalar:
Vamos considerar um vetor no conjunto e um escalar . Queremos verificar se também está no conjunto. Substituindo na equação:
Para que isso seja verdade para qualquer escalar , precisaríamos que:
Dividindo ambos os lados por (assumindo ):
Novamente, isso não se mantém verdadeiro para todos os valores de e dos vetores , então o conjunto não é fechado por multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto dos vetores que satisfazem não é um subespaço vetorial.