Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais?
(f) O conjunto dos vetores tais que .

Passo 1

Vamos analisar se o conjunto dos vetores que satisfazem a equação é um subespaço vetorial. Para isso, precisamos entender o que é um subespaço vetorial e quais propriedades ele deve cumprir. Vamos precisar verificar se este conjunto é fechado por adição e por multiplicação por escalar, que são as principais características de um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de deve cumprir três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar no conjunto.
  2. Fechado por adição: Se e estão no conjunto, então também deve estar.
  3. Fechado por multiplicação por escalar: Se está no conjunto e é um escalar, então também deve estar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto dado.

Passo 3

Verificando se contém o vetor zero:
Substituímos e na equação :
Portanto, o vetor zero está no conjunto.

Passo 4

Verificando fechamento por adição:
Vamos supor que temos dois vetores e no conjunto, ou seja:
Queremos verificar se também está no conjunto. Substituindo na equação:
Expandindo o lado esquerdo:
E o lado direito:
Como podemos ver, essas expressões não são iguais em geral, a menos que condições muito específicas sejam satisfeitas, o que não é garantido para todos os vetores e no conjunto. Portanto, o conjunto não é fechado por adição.

Passo 5

Verificando fechamento por multiplicação por escalar:
Vamos considerar um vetor no conjunto e um escalar . Queremos verificar se também está no conjunto. Substituindo na equação:
Para que isso seja verdade para qualquer escalar , precisaríamos que:
Dividindo ambos os lados por (assumindo ):
Novamente, isso não se mantém verdadeiro para todos os valores de e dos vetores , então o conjunto não é fechado por multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto dos vetores que satisfazem não é um subespaço vetorial.

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Resolva os sistemas lineares abaixo pelo método de escalonamento, pelo método da inversa e pelo método de Cramer, se houver solução.
Sejam e , para e , m. Se e . defina por
a) Mostre que é linear
b) Mostre que toda transformação linear, é da forma acima .
Sejam projeções. Mostre que são equivalentes
a) é projeção;
b)
c)
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