Resolva os sistemas lineares abaixo pelo método de escalonamento, pelo método da inversa e pelo método de Cramer, se houver solução.
rx+2 y+3 z=1 4 x+5 y+6 z=4 7 x+8 y+9 z=4

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações lineares abaixo utilizando três métodos diferentes: escalonamento, método da inversa e método de Cramer. O sistema é composto por três equações com três incógnitas (x, y, z):
x + 2y + 3z = 1 4x + 5y + 6z = 4 7x + 8y + 9z = 4
Para resolver esse sistema, vamos precisar entender conceitos de álgebra linear, como escalonamento de matrizes, inversas de matrizes e determinantes.

Passo 2

Método de Escalonamento
O método de escalonamento, também conhecido como eliminação de Gauss, consiste em transformar o sistema em uma forma triangular, facilitando a resolução das incógnitas.
Passo 2.1: Escrevemos o sistema na forma de uma matriz aumentada:
1 & 2 & 3 & | & 1 4 & 5 & 6 & | & 4 7 & 8 & 9 & | & 4
Passo 2.2: Eliminamos o primeiro elemento da segunda e terceira linhas.
  • Subtraímos 4 vezes a primeira linha da segunda linha:
R2 = R2 - 4R1 Rightarrow (4-4cdot1, 5-4cdot2, 6-4cdot3 | 4-4cdot1) = (0, -3, -6 | 0)
  • Subtraímos 7 vezes a primeira linha da terceira linha:
R3 = R3 - 7R1 Rightarrow (7-7cdot1, 8-7cdot2, 9-7cdot3 | 4-7cdot1) = (0, -6, -12 | -3)
Passo 2.3: Eliminamos o segundo elemento da terceira linha.
  • Subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
R3 = R3 - 2R2 Rightarrow (0-2cdot0, -6-2cdot(-3), -12-2cdot(-6) | -3-2cdot0) = (0, 0, 0 | -3)
Passo 2.4: Analisamos a última linha resultante:
0x + 0y + 0z = -3
Essa equação é impossível, pois 0 não pode ser igual a -3. Portanto, o sistema não possui solução.

Passo 3

Método da Inversa
Para utilizar o método da inversa, precisamos encontrar a inversa da matriz dos coeficientes e multiplicá-la pelo vetor dos termos constantes. Contudo, primeiramente, verificamos se a matriz é inversível calculando seu determinante.
Passo 3.1: Calculamos o determinante da matriz dos coeficientes:
det(A) = 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 = 1(5cdot9 - 6cdot8) - 2(4cdot9 - 6cdot7) + 3(4cdot8 - 5cdot7) = 1(-3) - 2(-6) + 3(-3) = -3 + 12 - 9 = 0
Passo 3.2: Como o determinante é zero, a matriz não possui inversa. Portanto, o método da inversa não pode ser aplicado, e o sistema não possui solução única.

Passo 4

Método de Cramer
O método de Cramer utiliza determinantes para encontrar as soluções das incógnitas. Porém, esse método só é aplicável se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero.
Passo 4.1: Já calculamos o determinante da matriz dos coeficientes e vimos que é zero.
Passo 4.2: Como o determinante é zero, o método de Cramer não pode ser utilizado, indicando que o sistema não possui solução única.

Resposta

O sistema de equações dado é inconsistente e não possui solução.

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