Resolva os sistemas lineares abaixo pelo método de escalonamento, pelo método da inversa e pelo método de Cramer, se houver solução.

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações lineares abaixo utilizando três métodos diferentes: escalonamento, método da inversa e método de Cramer. O sistema é composto por três equações com três incógnitas (x, y, z):
Para resolver esse sistema, vamos precisar entender conceitos de álgebra linear, como escalonamento de matrizes, inversas de matrizes e determinantes.

Passo 2

Método de Escalonamento
O método de escalonamento, também conhecido como eliminação de Gauss, consiste em transformar o sistema em uma forma triangular, facilitando a resolução das incógnitas.
Passo 2.1: Escrevemos o sistema na forma de uma matriz aumentada:
Passo 2.2: Eliminamos o primeiro elemento da segunda e terceira linhas.
  • Subtraímos 4 vezes a primeira linha da segunda linha:
  • Subtraímos 7 vezes a primeira linha da terceira linha:
Passo 2.3: Eliminamos o segundo elemento da terceira linha.
  • Subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
Passo 2.4: Analisamos a última linha resultante:
Essa equação é impossível, pois 0 não pode ser igual a -3. Portanto, o sistema não possui solução.

Passo 3

Método da Inversa
Para utilizar o método da inversa, precisamos encontrar a inversa da matriz dos coeficientes e multiplicá-la pelo vetor dos termos constantes. Contudo, primeiramente, verificamos se a matriz é inversível calculando seu determinante.
Passo 3.1: Calculamos o determinante da matriz dos coeficientes:
Passo 3.2: Como o determinante é zero, a matriz não possui inversa. Portanto, o método da inversa não pode ser aplicado, e o sistema não possui solução única.

Passo 4

Método de Cramer
O método de Cramer utiliza determinantes para encontrar as soluções das incógnitas. Porém, esse método só é aplicável se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero.
Passo 4.1: Já calculamos o determinante da matriz dos coeficientes e vimos que é zero.
Passo 4.2: Como o determinante é zero, o método de Cramer não pode ser utilizado, indicando que o sistema não possui solução única.

Resposta

O sistema de equações dado é inconsistente e não possui solução.

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