Sejam
projeções. Mostre que são equivalentes
a)
é projeção;
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre projeções no espaço vetorial
. Temos duas projeções,
e
, que mapeiam
de volta para
. A gente precisa verificar três afirmações sobre essas projeções:
a) Se
também é uma projeção;
b) Se
;
c) Se
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma projeção e como elas se comportam quando combinamos elas de diferentes maneiras.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma projeção. No contexto da Álgebra Linear, uma projeção
em um espaço vetorial
é uma transformação linear que satisfaz a condição:
Isso significa que aplicar a projeção duas vezes é o mesmo que aplicá-la uma vez.
Passo 3
Agora, vamos para a parte a):
Queremos mostrar que
é uma projeção.
Primeiro, simplificamos
.
Para verificar se
é uma projeção, precisamos checar se
.
Calculando:
Sabemos que
, então:
Para que
, precisamos que
. Isso só acontece se
, o que geralmente não é o caso para uma projeção não trivial. Portanto,
não é uma projeção a menos que
.
Passo 4
Parte b): Queremos mostrar que
.
Para isso, vamos considerar que
e
são projeções. Sabemos que:
Mas, sem informações adicionais sobre como
e
interagem, não podemos concluir diretamente que
. Geralmente, isso só acontece se as projeções são complementares de alguma forma específica, como projetar em subespaços ortogonais.
Passo 5
Parte c): Precisamos mostrar que
.
Isso significa que a aplicação sequencial das projeções resulta no vetor zero. Para que isso seja verdade, os subespaços nos quais as projeções atuam devem ser tais que a aplicação de uma projeção “anula” a outra. Ou seja, os subespaços são mutuamente anuladores.
Por exemplo, se
projeta em um subespaço
e
projeta em um subespaço
onde
e
são ortogonais, então
e
.
Resposta
a)
não é uma projeção, a menos que
;
b)
somente se as projeções forem complementares de maneira específica;
c)
se as projeções projetarem em subespaços mutuamente anuladores.