Sejam projeções. Mostre que são equivalentes
a) é projeção;
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre projeções no espaço vetorial . Temos duas projeções, e , que mapeiam de volta para . A gente precisa verificar três afirmações sobre essas projeções:
a) Se também é uma projeção;
b) Se ;
c) Se .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma projeção e como elas se comportam quando combinamos elas de diferentes maneiras.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma projeção. No contexto da Álgebra Linear, uma projeção em um espaço vetorial é uma transformação linear que satisfaz a condição:
Isso significa que aplicar a projeção duas vezes é o mesmo que aplicá-la uma vez.
Passo 3
Agora, vamos para a parte a):
Queremos mostrar que é uma projeção.
Primeiro, simplificamos .
Para verificar se é uma projeção, precisamos checar se .
Calculando:
Sabemos que , então:
Para que , precisamos que . Isso só acontece se , o que geralmente não é o caso para uma projeção não trivial. Portanto, não é uma projeção a menos que .
Passo 4
Parte b): Queremos mostrar que .
Para isso, vamos considerar que e são projeções. Sabemos que:
Mas, sem informações adicionais sobre como e interagem, não podemos concluir diretamente que . Geralmente, isso só acontece se as projeções são complementares de alguma forma específica, como projetar em subespaços ortogonais.
Passo 5
Parte c): Precisamos mostrar que .
Isso significa que a aplicação sequencial das projeções resulta no vetor zero. Para que isso seja verdade, os subespaços nos quais as projeções atuam devem ser tais que a aplicação de uma projeção “anula” a outra. Ou seja, os subespaços são mutuamente anuladores.
Por exemplo, se projeta em um subespaço e projeta em um subespaço onde e são ortogonais, então e .
Resposta
a) não é uma projeção, a menos que ;
b) somente se as projeções forem complementares de maneira específica;
c) se as projeções projetarem em subespaços mutuamente anuladores.