Sejam pi1, pi2: V V projeções. Mostre que são equivalentes
a) pi1+pi1 é projeção;
b) pi1 pi2+pi2 pi1=0
c) pi1 pi2=pi2 pi1=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre projeções no espaço vetorial . Temos duas projeções, e , que mapeiam de volta para . A gente precisa verificar três afirmações sobre essas projeções:
a) Se também é uma projeção;
b) Se ;
c) Se .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma projeção e como elas se comportam quando combinamos elas de diferentes maneiras.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma projeção. No contexto da Álgebra Linear, uma projeção pi^2 = pi em um espaço vetorial é uma transformação linear que satisfaz a condição:
Isso significa que aplicar a projeção duas vezes é o mesmo que aplicá-la uma vez.

Passo 3

Agora, vamos para a parte a):
Queremos mostrar que (2pi1)^2 = 4pi1^2 é uma projeção.
Primeiro, simplificamos 4pi1^2 = 4pi1 .
Para verificar se é uma projeção, precisamos checar se .
Calculando:
Sabemos que , então:
Para que , precisamos que . Isso só acontece se , o que geralmente não é o caso para uma projeção não trivial. Portanto, não é uma projeção a menos que .

Passo 4

Parte b): Queremos mostrar que pi1^2 = pi1 e pi2^2 = pi2 .
Para isso, vamos considerar que e são projeções. Sabemos que:
Mas, sem informações adicionais sobre como e interagem, não podemos concluir diretamente que . Geralmente, isso só acontece se as projeções são complementares de alguma forma específica, como projetar em subespaços ortogonais.

Passo 5

Parte c): Precisamos mostrar que .
Isso significa que a aplicação sequencial das projeções resulta no vetor zero. Para que isso seja verdade, os subespaços nos quais as projeções atuam devem ser tais que a aplicação de uma projeção “anula” a outra. Ou seja, os subespaços são mutuamente anuladores.
Por exemplo, se projeta em um subespaço e projeta em um subespaço onde e são ortogonais, então e .

Resposta

a) não é uma projeção, a menos que ;
b) somente se as projeções forem complementares de maneira específica;
c) se as projeções projetarem em subespaços mutuamente anuladores.

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