a) Mostre que é linear
b) Mostre que toda transformação linear, é da forma acima .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares! A gente vai trabalhar com espaços vetoriais e . O que a questão pede é duas partes: primeiro, mostrar que a transformação definida por é linear, e segundo, provar que qualquer transformação linear entre esses espaços pode ser escrita dessa forma. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como ela se relaciona com matrizes.
Passo 2
Vamos começar com a parte a): mostrar que é uma transformação linear. Mas o que isso significa? Uma transformação linear precisa satisfazer duas propriedades:
Aditividade:
Homogeneidade:
Vamos verificar cada uma delas para .
Aditividade:
Se e , então:
Distribuindo a soma:
Então, a propriedade de aditividade é satisfeita.
Homogeneidade:
Para um escalar e um vetor :
Então, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita. Portanto, é linear.
Passo 3
Agora, vamos para a parte b): mostrar que qualquer transformação linear pode ser escrita na forma .
Para isso, precisamos lembrar que em espaços vetoriais finitos, toda transformação linear pode ser representada por uma matriz. Especificamente, uma transformação linear de para pode ser associada a uma matriz de tamanho , onde os elementos dessa matriz são os coeficientes que determinam como cada componente do vetor de entrada influencia cada componente do vetor de saída.
Então, dado um linear, podemos construir a matriz onde cada é definido por:
Assim, para qualquer vetor , a transformação age da seguinte forma:
Isso mostra que qualquer transformação linear pode ser escrita na forma dada no enunciado.
Resposta
a) A transformação é linear porque satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade.
b) Toda transformação linear pode ser expressa como para algum conjunto de coeficientes .