Sejam V=K^n, W=K^m e ai j in K, para j=1 cdots, n e i=1, cdots, m. Se v=(x1, cdots, vn) in K^n e w=(y1, cdots, yn) in K^m. defina T(v)=w por
yi=sumj=1^n ai j xj, i=1, cdots, m
a) Mostre que T é linear
b) Mostre que toda transformação linear, T: K^n K^m é da forma acima .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares! A gente vai trabalhar com espaços vetoriais e . O que a questão pede é duas partes: primeiro, mostrar que a transformação definida por é linear, e segundo, provar que qualquer transformação linear entre esses espaços pode ser escrita dessa forma. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como ela se relaciona com matrizes.

Passo 2

Vamos começar com a parte a): mostrar que T(u + v) = ( sumj=1^n ai j (xj + x'j) )i=1^m é uma transformação linear. Mas o que isso significa? Uma transformação linear precisa satisfazer duas propriedades:
  1. Aditividade: = ( sumj=1^n ai j xj + sumj=1^n ai j x'j )i=1^m = T(u) + T(v)
  2. Homogeneidade: T(cu) = ( sumj=1^n ai j (c xj) )i=1^m = ( c sumj=1^n ai j xj )i=1^m = c T(u)
Vamos verificar cada uma delas para .
Aditividade:
Se e , então:
Distribuindo a soma:
Então, a propriedade de aditividade é satisfeita.
Homogeneidade:
Para um escalar e um vetor :
Então, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita. Portanto, é linear.

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): mostrar que qualquer transformação linear aij = a contribuição do xj no componente yi pode ser escrita na forma T(v) = Av = ( sumj=1^n ai j xj )i=1^m .
Para isso, precisamos lembrar que em espaços vetoriais finitos, toda transformação linear pode ser representada por uma matriz. Especificamente, uma transformação linear de para pode ser associada a uma matriz de tamanho , onde os elementos dessa matriz são os coeficientes que determinam como cada componente do vetor de entrada influencia cada componente do vetor de saída.
Então, dado um linear, podemos construir a matriz onde cada é definido por:
çã
Assim, para qualquer vetor , a transformação age da seguinte forma:
Isso mostra que qualquer transformação linear pode ser escrita na forma dada no enunciado.

Resposta

a) A transformação é linear porque satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade.
b) Toda transformação linear pode ser expressa como para algum conjunto de coeficientes .

Exercícios relacionados