Sejam
e
, para
e
, m. Se
e
. defina
por
a) Mostre que
é linear
b) Mostre que toda transformação linear,
é da forma acima .
b) Mostre que toda transformação linear,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares! A gente vai trabalhar com espaços vetoriais
e
. O que a questão pede é duas partes: primeiro, mostrar que a transformação
definida por
é linear, e segundo, provar que qualquer transformação linear entre esses espaços pode ser escrita dessa forma. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como ela se relaciona com matrizes.
Passo 2
Vamos começar com a parte a): mostrar que
é uma transformação linear. Mas o que isso significa? Uma transformação linear precisa satisfazer duas propriedades:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Vamos verificar cada uma delas para
.
Aditividade:
Se e
, então:
Se
Distribuindo a soma:
Então, a propriedade de aditividade é satisfeita.
Homogeneidade:
Para um escalar e um vetor
:
Para um escalar
Então, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita. Portanto,
é linear.
Passo 3
Agora, vamos para a parte b): mostrar que qualquer transformação linear
pode ser escrita na forma
.
Para isso, precisamos lembrar que em espaços vetoriais finitos, toda transformação linear pode ser representada por uma matriz. Especificamente, uma transformação linear de
para
pode ser associada a uma matriz
de tamanho
, onde os elementos
dessa matriz são os coeficientes que determinam como cada componente do vetor de entrada influencia cada componente do vetor de saída.
Então, dado um
linear, podemos construir a matriz
onde cada
é definido por:
Assim, para qualquer vetor
, a transformação
age da seguinte forma:
Isso mostra que qualquer transformação linear pode ser escrita na forma dada no enunciado.
Resposta
a) A transformação
é linear porque satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade.
b) Toda transformação linear
pode ser expressa como
para algum conjunto de coeficientes
.