Sejam e , para e , m. Se e . defina por
a) Mostre que é linear
b) Mostre que toda transformação linear, é da forma acima .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares! A gente vai trabalhar com espaços vetoriais e . O que a questão pede é duas partes: primeiro, mostrar que a transformação definida por é linear, e segundo, provar que qualquer transformação linear entre esses espaços pode ser escrita dessa forma. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como ela se relaciona com matrizes.

Passo 2

Vamos começar com a parte a): mostrar que é uma transformação linear. Mas o que isso significa? Uma transformação linear precisa satisfazer duas propriedades:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Vamos verificar cada uma delas para .
Aditividade:
Se e , então:
Distribuindo a soma:
Então, a propriedade de aditividade é satisfeita.
Homogeneidade:
Para um escalar e um vetor :
Então, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita. Portanto, é linear.

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): mostrar que qualquer transformação linear pode ser escrita na forma .
Para isso, precisamos lembrar que em espaços vetoriais finitos, toda transformação linear pode ser representada por uma matriz. Especificamente, uma transformação linear de para pode ser associada a uma matriz de tamanho , onde os elementos dessa matriz são os coeficientes que determinam como cada componente do vetor de entrada influencia cada componente do vetor de saída.
Então, dado um linear, podemos construir a matriz onde cada é definido por:
çã
Assim, para qualquer vetor , a transformação age da seguinte forma:
Isso mostra que qualquer transformação linear pode ser escrita na forma dada no enunciado.

Resposta

a) A transformação é linear porque satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade.
b) Toda transformação linear pode ser expressa como para algum conjunto de coeficientes .

Exercícios relacionados

Sejam um espaço vetorial sobre e um operador linear. Mostre as condições abaixo são equivalentes:
a)
b) , então
Seja um isomorfismo de espaços vetoriais. Mostre que sua inversa é uma transformação linear
Resolva os sistemas lineares abaixo pelo método de escalonamento, pelo método da inversa e pelo método de Cramer, se houver solução.
Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais?
(f) O conjunto dos vetores tais que .