Numa TL. f: V W, f(u)=2 u e f(v)=3 v, calcule: f(3 u)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre transformações lineares, que é um assunto da álgebra linear. Temos uma transformação linear que age sobre vetores e da seguinte forma: e . Nosso objetivo aqui é calcular . Para isso, vamos precisar usar as propriedades das transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear satisfaz duas propriedades importantes:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores e em .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e vetor em .
Essas propriedades nos ajudam a simplificar a aplicação de a combinações lineares de vetores.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a propriedade da homogeneidade para calcular f(k cdot a) = k cdot f(a) . Segundo a homogeneidade:
f(3u) = 3 cdot f(u)
Aqui, e . Então:

Passo 4

Sabemos que f(3u) = 3 cdot (2u) . Vamos substituir esse valor na equação que encontramos no passo anterior:

Passo 5

Agora, basta multiplicar os coeficientes:
f(3u) = 6u

Resposta

Portanto, .

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