Quais dos seguintes vetores é combinação linear de u=(2 , 1 , 4 ) e v ==(3, 2, 5). (2,2,2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para saber se o vetor w = (2, 2, 2) pode ser obtido combinando os vetores u = (2, 1, 4) e v = (3, 2, 5). Isso está relacionado ao conceito de combinação linear, que basicamente significa multiplicar os vetores por alguns números e somar os resultados para chegar em um novo vetor. Para resolver, vamos precisar encontrar se existem números a e b tais que:
a cdot u + b cdot v = w

Passo 2

Vamos escrever isso de forma mais detalhada com as coordenadas dos vetores:
a cdot (2, 1, 4) + b cdot (3, 2, 5) = (2, 2, 2)
Isso se traduz em um sistema de três equações:
  1. 2a + 3b = 2
  2. a + 2b = 2
  3. 4a + 5b = 2

Passo 3

Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a e b. Primeiro, vamos pegar a segunda equação para facilitar:
a + 2b = 2 Rightarrow a = 2 - 2b

Passo 4

Agora, substituímos a na primeira equação:
2(2 - 2b) + 3b = 2 4 - 4b + 3b = 2 - b = -2 b = 2

Passo 5

Com o valor de b encontrado, voltamos para a expressão de a:
a = 2 - 2(2) a = 2 - 4 a = -2

Passo 6

Para garantir que nossa solução está correta, substituímos a e b na terceira equação:
4(-2) + 5(2) = -8 + 10 = 2
Que confere com o lado direito da equação.

Resposta

Sim, o vetor (2, 2, 2) é uma combinação linear de u = (2, 1, 4) e v = (3, 2, 5), onde a = -2 e b = 2.

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