Prove que: ii) a u+b v in W, forall u, v in E e a, b in R

Passo 1

Então, galera, vamos resolver esse exercício que pede para provar que está em para todo em e para todo reais. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser fechado sob combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um subespaço vetorial de um espaço vetorial precisa satisfazer três condições: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar. Neste exercício, estamos focando na segunda condição: se tomarmos dois vetores quaisquer em e formarmos uma combinação linear deles (ou seja, multiplicando cada um por um escalar e somando), o resultado também deve estar em .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao problema. Seja e vetores em e e escalares reais. Queremos provar que também está em .
Primeiro, multiplicamos por , o que nos dá um novo vetor . Como é um subespaço, multiplicar um vetor por um escalar mantém o vetor dentro de .

Passo 4

Em seguida, fazemos o mesmo com , multiplicando-o por para obter . Novamente, como é fechado sob multiplicação por escalar, também está em .

Passo 5

Finalmente, somamos e . Como também é fechado sob adição, a soma deve estar em .

Resposta

Portanto, mostramos que para todo e , comprovando que é fechado sob combinações lineares.

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