Prove que: ii)
Passo 1
Então, galera, vamos resolver esse exercício que pede para provar que
está em
para todo
em
e para todo
reais. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser fechado sob combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um subespaço vetorial
de um espaço vetorial
precisa satisfazer três condições: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar. Neste exercício, estamos focando na segunda condição: se tomarmos dois vetores quaisquer em
e formarmos uma combinação linear deles (ou seja, multiplicando cada um por um escalar e somando), o resultado também deve estar em
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao problema. Seja
e
vetores em
e
e
escalares reais. Queremos provar que
também está em
.
Primeiro, multiplicamos
por
, o que nos dá um novo vetor
. Como
é um subespaço, multiplicar um vetor por um escalar mantém o vetor dentro de
.
Passo 4
Em seguida, fazemos o mesmo com
, multiplicando-o por
para obter
. Novamente, como
é fechado sob multiplicação por escalar,
também está em
.
Passo 5
Finalmente, somamos
e
. Como
também é fechado sob adição, a soma
deve estar em
.
Resposta
Portanto, mostramos que
para todo
e
, comprovando que
é fechado sob combinações lineares.
Exercícios relacionados
Sejam
e
e
Algum desses subconjuntos é subespaço de V?
Quais dos seguintes vetores é combinação linear de
.
Demonstre que se as matrizes inversíveis
e
são comutativas, então também são comutativas
a) e
;
b) e
;
c) e
;
a)
b)
c)
Determine uma base e a dimensão do subespaço de
formado por todas as matrizes diagonais.