Utilize a Transformada de Fourier para resolver ces problemas abaixo.
l partial^2 upartial x^2+partial upartial x=partial upartial t u(x, 0)=e^-x^2, x in R

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando a Transformada de Fourier. O problema nos dá uma equação diferencial parcial com uma condição inicial. A equação é:
partial^2 upartial x^2 + partial upartial x = partial upartial t
E a condição inicial é:
u(x, 0) = e^-x^2
Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Transformada de Fourier na variável , resolver a equação no espaço transformado e depois voltar para o espaço original usando a Transformada Inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Fourier em ambos os lados da equação diferencial em relação a (-k^2 + ik) u(k, t) = partial upartial t(k, t) . A Transformada de Fourier de uma derivada nos ajuda a transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais simples.
A Transformada de Fourier de é e de é , onde é a Transformada de Fourier de .
Aplicando a Transformada de Fourier na equação dada:

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial ordinária em partial upartial t + (k^2 - ik) u = 0 :
u(k, t) = u(k, 0) e^-(k^2 - ik)t
Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando um fator integrante. A solução geral é:

Passo 4

Precisamos encontrar Fe^-x^2 = raizpi e^-k^24 , que é a Transformada de Fourier da condição inicial u(k, 0) = raizpi e^-k^24 . Sabemos que:
u(k, t) = raizpi e^-k^24 e^-(k^2 - ik)t = raizpi e^-(k^24 + k^2 - ik) t = raizpi e^-(5k^24 - ik) t
Então,
Substituindo na solução:

Passo 5

Agora, vamos aplicar a Transformada Inversa de Fourier para encontrar u(x, t) = F^-1raizpi e^-(5k^24 - ik) t :
-(5k^24 - ik) t = -5k^2t4 + ikt
Podemos reescrever a expressão no expoente:
u(x, t) = raizpi F^-1e^-5k^2t4 e^ik t
Então,
u(x, t) = raizpi e^-5k^2t4 cdot de
Reconhecendo que u(x, t) = 1raiz5pi t e^-(x - t)^25t representa uma translação no espaço, temos:
Finalmente, a solução inversa dá:

Resposta

A solução da equação dada é:
u(x, t) = 1raiz5pi t, e^-(x - t)^25t

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A seguir estão os passos para se calcular uma integral por substituição trigonométrica. Eles estão fora de ordem. Associe um número a cada um deles, coloque-os em ordem crescente, de maneira que o cálculo faça sentido, não esquecendo de escrever o sinal de igualdade entre cada um deles, quando for o caso.
d x=2 cos (theta) d theta integral 2 cos (theta)4 sen^2(theta) raiz4(1-sen^2(theta)) d theta cos ^2(theta)=1-x^24
cos (theta)=raiz4-x^22 integral 2 cos (theta)4 sen^2(theta) raiz4-4 sen^2(theta) d theta
integral 2 cos (theta)8 sen^2(theta) cos (theta) d theta -14 raiz4-x^2x+k -14 cotg(theta)+k
-14 cos (theta)sen(theta)+k x=2 sen(theta) -14 raiz4-x^2x+k
14 integral 1sen^2(theta) d theta 14 integral cosec^2(theta) d theta sen(theta)=x2

Boa Prova!