Utilize a Transformada de Fourier para resolver ces problemas abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando a Transformada de Fourier. O problema nos dá uma equação diferencial parcial com uma condição inicial. A equação é:
E a condição inicial é:
Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Transformada de Fourier na variável
, resolver a equação no espaço transformado e depois voltar para o espaço original usando a Transformada Inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Fourier em ambos os lados da equação diferencial em relação a
. A Transformada de Fourier de uma derivada nos ajuda a transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais simples.
A Transformada de Fourier de
é
e de
é
, onde
é a Transformada de Fourier de
.
Aplicando a Transformada de Fourier na equação dada:
Passo 3
Agora, temos uma equação diferencial ordinária em
:
Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando um fator integrante. A solução geral é:
Passo 4
Precisamos encontrar
, que é a Transformada de Fourier da condição inicial
. Sabemos que:
Então,
Substituindo na solução:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a Transformada Inversa de Fourier para encontrar
:
Podemos reescrever a expressão no expoente:
Então,
Reconhecendo que
representa uma translação no espaço, temos:
Finalmente, a solução inversa dá:
Resposta
A solução da equação dada é:
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Utilizando o método das frações parciais, calcule
.
Encontre a Transformada de Fourier Inversa:
(d)
A seguir estão os passos para se calcular uma integral por substituição trigonométrica. Eles estão fora de ordem. Associe um número a cada um deles, coloque-os em ordem crescente, de maneira que o cálculo faça sentido, não esquecendo de escrever o sinal de igualdade entre cada um deles, quando for o caso.
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