A seguir temos uma equação diferencial de segunda ordem.
y'' - y = 0
Qual é a sua solução geral?
a) y(x) = A e^(2 x) + B e^(-x), onde A e B são constantes reais.
b) y(x) = A * e^(x) + B * e^(-x), onde A e B são constantes reais.
c) y(x) = A e^x, onde A é constante real.
d) y(x) = A*x + B*e^(-x), onde A e B são constantes reais

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes e funções exponenciais.

Passo 2

Para resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem como essa, geralmente assumimos que a solução tem a forma:
Onde é um número que vamos determinar. Essa é uma técnica padrão chamada método das soluções exponenciais.

Passo 3

Vamos derivar para encontrar e :

Passo 4

Substituímos , e na equação original:
Podemos fatorar :

Passo 5

Para que a equação seja verdadeira para todo , o termo dentro do parêntese deve ser zero:
Então, temos duas raízes reais: e .

Passo 6

Como temos duas soluções distintas, a solução geral da equação diferencial é a combinação linear das soluções individuais:
Onde e são constantes reais arbitrárias.

Resposta

A opção correta é a b)
ã

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