A seguir temos uma equação diferencial de segunda ordem.
Qual é a sua solução geral?
a)
, onde
e
são constantes reais.
b)
, onde
e
são constantes reais.
c)
, onde A é constante real.
d)
, onde
e
são constantes reais
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes e funções exponenciais.
Passo 2
Para resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem como essa, geralmente assumimos que a solução tem a forma:
Onde
é um número que vamos determinar. Essa é uma técnica padrão chamada método das soluções exponenciais.
Passo 3
Vamos derivar
para encontrar
e
:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação original:
Podemos fatorar
:
Passo 5
Para que a equação seja verdadeira para todo
, o termo dentro do parêntese deve ser zero:
Então, temos duas raízes reais:
e
.
Passo 6
Como temos duas soluções distintas, a solução geral da equação diferencial é a combinação linear das soluções individuais:
Onde
e
são constantes reais arbitrárias.
Resposta
A opção correta é a b)