Seja F = 2z i + 4x j + 5y k e C a curva de interseç̧ão do plano z = x + 4 com o cilindro x^2 + y^2 = 4, orientada no sentido anti-horário.
O valor da integral de caminho fechado sobre a curva C, é
a) -4 pi
b) 2 pi
c) -2 pi
d) pi

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial e uma curva C que é a interseção do plano com o cilindro x^2 + y^2 = 4. A pergunta quer saber o valor da integral de caminho fechado desse campo vetorial sobre a curva C.
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral de superfície da rota do campo vetorial sobre uma superfície que tem C como fronteira. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que:
Aqui, nabla vezes F é o rotacional de F, e n é o vetor normal à superfície S que tem C como fronteira.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F. A fórmula para o rotacional é:
Calculando o determinante:
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o vetor normal n à superfície S. Como a superfície está no plano , podemos encontrar n a partir do gradiente dessa equação.
A equação do plano pode ser escrita como:
Então, o gradiente é:
Portanto, o vetor normal não normalizado é . Para obter o vetor normal unitário, normalizamos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar :

Passo 6

Agora, precisamos calcular a integral de superfície:
A área da superfície S é a área da interseção do plano com o cilindro, que é um círculo com raio 2 (já que ). A área de um círculo é , então:
Á
Portanto:

Passo 7

Porém, precisamos considerar a orientação da curva C. A curva está orientada no sentido anti-horário quando vista de cima, o que corresponde a uma orientação positiva para o vetor normal n que escolhemos. Portanto, o sinal permanece positivo.

Resposta

O valor da integral de caminho fechado sobre a curva C é . No entanto, entre as opções fornecidas, a resposta mais próxima é a letra b) 2 pi.

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