Seja e a curva de interseç̧ão do plano com o cilindro , orientada no sentido anti-horário.
O valor da integral de caminho fechado sobre a curva C, é
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial e uma curva que é a interseção do plano com o cilindro . A pergunta quer saber o valor da integral de caminho fechado desse campo vetorial sobre a curva .
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral de superfície da rota do campo vetorial sobre uma superfície que tem como fronteira. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que:
Aqui, é o rotacional de , e é o vetor normal à superfície que tem como fronteira.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de . A fórmula para o rotacional é:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o vetor normal à superfície . Como a superfície está no plano , podemos encontrar a partir do gradiente dessa equação.
A equação do plano pode ser escrita como:
Então, o gradiente é:
Portanto, o vetor normal não normalizado é . Para obter o vetor normal unitário, normalizamos:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar :
Passo 6
Agora, precisamos calcular a integral de superfície:
A área da superfície é a área da interseção do plano com o cilindro, que é um círculo com raio 2 (já que ). A área de um círculo é , então:
Á
Portanto:
Passo 7
Porém, precisamos considerar a orientação da curva . A curva está orientada no sentido anti-horário quando vista de cima, o que corresponde a uma orientação positiva para o vetor normal que escolhemos. Portanto, o sinal permanece positivo.
Resposta
O valor da integral de caminho fechado sobre a curva é . No entanto, entre as opções fornecidas, a resposta mais próxima é a letra b) .