Use integração por partes para calcular as integrais abaixo.
integral 4 x sec ^2(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a integral integral 4x sec^2(x) d x usando integração por partes. Então, o assunto aqui é cálculo integral, mais especificamente, a técnica de integração por partes que é super útil quando a gente tem o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar quais partes da nossa integral vão ser o “u” e o “dv”. Na integração por partes, escolhemos “u” para ser a parte que ficara mais simples quando derivada, e “dv” para ser a parte que dá pra integrar facilmente.
Vamos escolher:
  • u = 4x ⇒  du = 4 dx
  • dv = sec^2(x) dx ⇒  v = tan(x)

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u v - integral v , du
Substituindo o que encontramos:
integral 4x sec^2(x) dx = 4x tan(x) - integral tan(x) cdot 4 dx

Passo 4

Aí temos uma nova integral pra resolver: integral 4 tan(x) dx. Sabemos que a integral de tan(x) é -ln|cos(x)| + C, então:
integral 4 tan(x) dx = 4 (-ln|cos(x)|) + C = -4 ln|cos(x)| + C

Passo 5

Por fim, substituímos essa resposta de volta na expressão original:
integral 4x sec^2(x) dx = 4x tan(x) - (-4 ln|cos(x)|) + C
Simplificando:
4x tan(x) + 4 ln|cos(x)| + C

Resposta

A integral é:
integral 4x sec^2(x) dx = 4x tan(x) + 4 ln|cos(x)| + C

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