Segundo a Lei de Resfriamento de Corpos, a taxa de variação da temperatura de um corpo com relação ao tempo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do ambiente. A equação utilizada para descrever a temperatura é dada por: T(t) = (T₀ - Tₐ)e^(-kt) + Tₐ Onde T(t) é a temperatura do corpo em função do tempo, T₀ é a temperatura inicial do corpo, Tₐ é a temperatura ambiente, t é o tempo e k é a constante de proporcionalidade. Sabendo que a temperatura inicial da água era de 95 C°, temperatura ambiente de 20 C° e a constante k é igual a 0,5, assinale a alternativa que representa a temperatura da água no tempo igual a t = 2 minutos e a função que mostra a temperatura no instante t com as condições dadas, respectivamente. Escolha uma:
a. 27,75 C° e T(t) = 115e^(-0,5t) + 20
b. 47,75 C° e T(t) = 75e^(-0,5t) + 20
c. 75,75 C° e T(t) = 75e^(-0,5t) + 20
d. 27,75 C° e T(t) = 95e^(-0,5t) + 20
e. 47,75 C° e T(t) = 95e^(-0,5t) + 20
a. 27,75 C° e T(t) = 115e^(-0,5t) + 20
b. 47,75 C° e T(t) = 75e^(-0,5t) + 20
c. 75,75 C° e T(t) = 75e^(-0,5t) + 20
d. 27,75 C° e T(t) = 95e^(-0,5t) + 20
e. 47,75 C° e T(t) = 95e^(-0,5t) + 20
Passo 1
Resumo do Problema e Conceitos Necessários
Vamos resolver um exercício sobre a Lei de Resfriamento de Newton, que nos diz como a temperatura de um objeto muda com o tempo em relação à temperatura ambiente. Precisamos calcular a temperatura da água após 2 minutos e encontrar a função que descreve essa temperatura ao longo do tempo. Para isso, vamos usar a fórmula:
onde:
- $ T(t) $ é a temperatura do corpo no tempo $ t $,
- $ T_0 $ é a temperatura inicial do corpo,
- $ T_a $ é a temperatura ambiente,
- $ k $ é a constante de proporcionalidade,
- $ t $ é o tempo.
Passo 2
Identificando os Valores Conhecidos
Do enunciado, temos:
- Temperatura inicial da água, $ T_0 = 95^\circ C $,
- Temperatura ambiente, $ T_a = 20^\circ C $,
- Constante de proporcionalidade, $ k = 0,5 $,
- Tempo, $ t = 2 $ minutos.
Passo 3
Substituindo os Valores na Fórmula
Vamos substituir os valores conhecidos na fórmula:
Passo 4
Calculando a Diferença de Temperaturas
Primeiro, calculamos a diferença $ T_0 - T_a $:
Então, a equação fica:
Passo 5
Calculando o Exponencial
Calculamos a parte exponencial $ e^{-1} $. Sabemos que $ e^{-1} \approx 0,3679 $.
Passo 6
Realizando a Multiplicação
Multiplicamos 75 por 0,3679:
Então:
Passo 7
Somando os Valores
Somamos os resultados:
Arredondando para duas casas decimais:
Passo 8
Formando a Função T(t)
Já sabemos que a função que descreve a temperatura é:
Passo 9
Comparando com as Alternativas
Analisando as opções, a que mais se aproxima do nosso resultado é:
Alternativa b. 47,75 C° e T(t) = 75e^{-0,5t} + 20
Resposta
Alternativa b. 47,75 C° e T(t) = 75e^{-0,5t} + 20