Seis diretores irão entrevistar os finalistas de um processo seletivo. Há sempre dois diretores em uma entrevista e cada diretor participa de cinco entrevistas, sendo cada uma com um colega diferente. Dois dos diretores declararam conhecer previamente um dos candidatos e pediram para não pertencer à dupla de entrevistadores dessa pessoa. O número de duplas diferentes que podem entrevistar esse candidato, de modo que o pedido dos dois diretores seja respeitado, é igual a

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos seis diretores que vão entrevistar finalistas em um processo seletivo. Cada entrevista é feita por dois diretores, e cada diretor participa de cinco entrevistas, sempre com um colega diferente. Agora, dois desses diretores já conhecem bem um dos candidatos e pediram para não estarem na dupla de entrevistadores desse candidato específico. Nosso objetivo é descobrir quantas duplas diferentes podem entrevistar esse candidato, respeitando o pedido desses dois diretores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação e contagem de pares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quantas duplas diferentes podem ser formadas com os seis diretores. Como cada dupla é composta por dois diretores, podemos usar a combinação para calcular isso. A fórmula para combinação é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Aqui, $ n = 6 $ (total de diretores) e $ k = 2 $ (tamanho da dupla).

Passo 3

Aplicando a fórmula:
C(6, 2) = 6!2!(6 - 2)! = 6 times 52 times 1 = 15
Então, no total, há 15 duplas possíveis de diretores.

Passo 4

Agora, precisamos considerar as restrições impostas pelos dois diretores que não querem participar dessa entrevista específica. Vamos chamar esses dois diretores de Diretor A e Diretor B.
Queremos excluir todas as duplas que incluem o Diretor A ou o Diretor B. Vamos calcular quantas duplas incluem cada um deles.

Passo 5

Cada diretor participa de 5 entrevistas com diferentes colegas. Portanto:
  • Número de duplas que incluem o Diretor A: 5
  • Número de duplas que incluem o Diretor B: 5
No entanto, a dupla que inclui tanto o Diretor A quanto o Diretor B foi contada duas vezes, então precisamos corrigir isso.

Passo 6

A dupla Diretor A e Diretor B foi contada duas vezes nos 5 + 5 = 10 pares. Portanto, devemos subtrair 1 para evitar a contagem dupla.
Total de duplas que devem ser excluídas:
5 (Diretor A) + 5 (Diretor B) - 1 (dupla A-B) = 9

Passo 7

Agora, subtraímos as duplas excluídas do total de duplas possíveis para encontrar as duplas que podem entrevistar o candidato.
Total de duplas permitidas = 15 duplas totais - 9 duplas excluídas = 6 í

Resposta

Existem 6 duplas diferentes que podem entrevistar esse candidato respeitando o pedido dos dois diretores.

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