Seis moles de um gás ideal estão em um cilindro com um pistão móvel em uma de suas extremidades. A temperatura inicial do gás é 27,0 °C e a pressão constante. Como parte do projeto da máquina, calcule a temperatura final do gás depois que ele houver realizado 1,75 kJ de trabalho. Dados: R=8,3145 J/molK.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre gases ideais, focando em como a temperatura muda quando o gás faz um certo trabalho. A matéria que vamos usar aqui é a Termodinâmica, mais especificamente a lei dos gases ideais e o conceito de trabalho realizado por um gás. Para resolver, vamos precisar usar a equação dos gases ideais e entender como calcular o trabalho realizado por um gás a pressão constante.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar os dados que temos:
- Quantidade de gás, n = 6 moles
- Temperatura inicial, $ T_1 = 27,0,°C $ (vamos converter para Kelvin depois)
- Trabalho realizado, $ W = 1,75,kJ = 1750,J $
- Constante dos gases ideais, $ R = 8,3145,J/mol·K $
- Pressão constante
Passo 3
Vamos converter a temperatura inicial de Celsius para Kelvin, porque nas equações dos gases a temperatura precisa estar em Kelvin.
Passo 4
Como a pressão é constante, o trabalho realizado pelo gás é dado por:
Mas também sabemos que para um gás ideal a relação entre pressão, volume e temperatura é:
Como a pressão é constante, podemos relacionar as temperaturas e volumes iniciais e finais:
Isso nos ajuda a encontrar a variação de volume quando a temperatura muda.
Passo 5
Vamos usar a expressão do trabalho em termos das temperaturas. Sabemos que:
Usando a relação dos volumes:
Substituindo na expressão do trabalho:
Passo 6
Agora, precisamos expressar $ P V_1 $ em termos das outras variáveis que conhecemos. Da equação dos gases ideais:
Então, substituindo na equação do trabalho:
Simplificando:
Passo 7
Agora, isolamos $ T_2 $:
Passo 8
Substituímos os valores:
Primeiro, calculamos o denominador:
Então:
Resposta
A temperatura final do gás é de aproximadamente $ 335,2,K $.