Seis parafusos são escolhidos ao acaso da produção de certa máquina agrícola, que apresenta 10% de peças defeituosas. Qual a probabilidade de serem defeituosos dois desses parafusos? Inicie a resposta identificando qual o tipo de distribuição de probabilidade e justifique

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem 6 parafusos escolhidos de uma produção onde 10% são defeituosos. A pergunta é: qual a chance de exatamente 2 desses parafusos serem defeituosos? Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é perfeita quando temos um número fixo de tentativas (nesse caso, 6 parafusos), cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis (defeituoso ou não), e a probabilidade de sucesso (defeito) é constante em cada tentativa (10%).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Distribuição Binomial. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de obter exatamente $ k $ sucessos em $ n $ tentativas. A fórmula é:
k
Onde:
  • $ \binom{n}{k} $ é o número de combinações de $ n $ elementos tomados $ k $ a $ k $.
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • $ (1 - p) $ é a probabilidade de falha em uma única tentativa.

Passo 3

Vamos identificar os valores que vamos usar na fórmula:
  • $ n = 6 $ (número total de parafusos escolhidos)
  • $ k = 2 $ (número de parafusos defeituosos que queremos)
  • $ p = 0,10 $ (probabilidade de um parafuso ser defeituoso)

Passo 4

Primeiro, calculamos o coeficiente binomial $ \binom{6}{2} $. Isso representa quantas maneiras diferentes podemos escolher 2 parafusos defeituosos entre 6. A fórmula para o coeficiente binomial é:
binom62
Substituindo os valores:
binomnk = n!k!(n - k)!

Passo 5

Agora, vamos calcular $ p^k $ e $ (1 - p)^{n - k} $:
p^k
(1 - p)^n - k

Passo 6

Finalmente, substituímos esses valores na fórmula da Distribuição Binomial:
P(2) = 15 times 0,01 times 0,6561 = 15 times 0,006561 = 0,098415

Resposta

A probabilidade de exatamente dois dos seis parafusos serem defeituosos é aproximadamente 9,84%.

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