Considere a equação não linear x0 + sen(x) – 1 = 0 que tem uma raiz única no intervalo [0,1]. Com base nessas informações e empregando o método da bissecção, assinale a alternativa que indica qual o valor aproximado dessa raiz de tal modo que o erro seja inferior a 0,125.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação $ x + \sin(x) - 1 = 0 $ usando o método da bissecção. O conteúdo aqui envolve funções não lineares e métodos numéricos para encontrar raízes. Precisamos conhecer o intervalo onde a raiz está localizada, que é [0,1], e entender como o método da bissecção funciona para diminuir o erro a cada passo até ficar menor que 0,125.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a função muda de sinal no intervalo [0,1]. Calculamos $ f(0) = 0 + \sin(0) - 1 = -1 $ e $ f(1) = 1 + \sin(1) - 1 \approx 0,8415 $. Como $ f(0) $ é negativo e $ f(1) $ é positivo, sabemos que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Agora, aplicamos o método da bissecção. Primeiro, encontramos o ponto médio do intervalo: $ c = \frac{0 + 1}{2} = 0,5 $. Calculamos $ f(0,5) = 0,5 + \sin(0,5) - 1 \approx 0,5 + 0,4794 - 1 = -0,0206 $. Como $ f(0,5) $ é negativo, a raiz está entre 0,5 e 1.

Passo 4

Vamos dividir o novo intervalo [0,5, 1] novamente pelo ponto médio: $ c = \frac{0,5 + 1}{2} = 0,75 $. Calculamos $ f(0,75) = 0,75 + \sin(0,75) - 1 \approx 0,75 + 0,6816 - 1 = 0,4316 $. Agora $ f(0,75) $ é positivo, então a raiz está entre 0,5 e 0,75.

Passo 5

Dividimos mais uma vez o intervalo [0,5, 0,75]: $ c = \frac{0,5 + 0,75}{2} = 0,625 $. Calculamos $ f(0,625) = 0,625 + \sin(0,625) - 1 \approx 0,625 + 0,5806 - 1 = 0,2056 $. Como $ f(0,625) $ é positivo, a raiz está entre 0,5 e 0,625.

Passo 6

Mais uma divisão no intervalo [0,5, 0,625]: $ c = \frac{0,5 + 0,625}{2} = 0,5625 $. Calculamos $ f(0,5625) = 0,5625 + \sin(0,5625) - 1 \approx 0,5625 + 0,5333 - 1 = 0,0958 $. $ f(0,5625) $ ainda é positivo, então a raiz está entre 0,5 e 0,5625.

Resposta

A raiz está aproximadamente em $ 0,5 $ com erro inferior a $ 0,125 $.

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