Para os seis primeiros meses de um investimento, a evolução, em milhares de reais, de um certo investimento de R$ 3.000,00 é expressa pela fórmula m(X)= –¼(x-4)²+7 onde M(x) indica quantos milhares de reais a pessoa poderá retirar após x meses desse investimento. Um cliente pretende deixar esse investimento por seis meses. Nesse caso, de quanto será a sua perda, em reais, em relação ao máximo que ele poderia ter retirado?
(A) 1.000
(B) 3.000
© 4.000
(D) 5.000
(E) 6.000
(A) 1.000
(B) 3.000
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(D) 5.000
(E) 6.000
Passo 1
Vamos lá! O exercício fala sobre um investimento de R$ 3.000,00 que evolui ao longo de seis meses, e nos dá a fórmula $ M(x) = -\frac{1}{4}(x-4)^2 + 7 $, onde $ M(x) $ representa, em milhares de reais, quanto a pessoa pode retirar após $ x $ meses. Precisamos descobrir qual será a perda do cliente após seis meses em relação ao máximo que ele poderia ter retirado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas e como encontrar seus valores máximos e específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula dada: $ M(x) = -\frac{1}{4}(x-4)^2 + 7 $. Essa é a equação de uma parábola com forma canônica $ M(x) = a(x-h)^2 + k $, onde o ponto de vértice é $ (h, k) $. No nosso caso, $ h = 4 $ e $ k = 7 $, e $ a = -\frac{1}{4} $. Como $ a $ é negativo, a parábola abre para baixo, o que significa que temos um ponto máximo no vértice.
Passo 3
O vértice da parábola nos dá o valor máximo que a função pode atingir. Assim, o valor máximo de $ M(x) $ ocorre quando $ x = 4 $. Calculando:
Isso significa que o máximo que o cliente poderia ter retirado é R$ 7.000,00 (já que $ M(x) $ está em milhares de reais).
Passo 4
Agora, vamos calcular quanto o cliente realmente retirou após seis meses. Substituindo $ x = 6 $ na fórmula:
Portanto, após seis meses, o cliente poderá retirar R$ 6.000,00.
Passo 5
Finalmente, para encontrar a perda em relação ao valor máximo possível, subtraímos o valor retirado após seis meses do valor máximo:
Perda = R$ 7.000,00 - R$ 6.000,00 = R$ 1.000,00
Resposta
A perda do cliente é de R$ 1.000,00.