Seja f(x, y)=x e^y^2-15 log (x^2+y^2+16). Calcule nabla f(2,0). Verifique que as derivadas parciais de f em (2,0) são contínuas e use esse fato para calcular a derivada direcional partial fpartial u(2,0) onde u=(0,-1) partial fpartial u(2,0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos uma função de duas variáveis, . O objetivo é calcular o gradiente dessa função no ponto , verificar se as derivadas parciais são contínuas nesse ponto e, usando isso, calcular a derivada direcional na direção do vetor . Para resolver isso, a gente vai precisar entender como calcular derivadas parciais, o gradiente de uma função e derivadas direcionais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de partial fpartial x = partialpartial x ( x e^y^2 ) - 15 partialpartial x ( log(x^2 + y^2 + 16) ) em relação a partial fpartial x = e^y^2 + x e^y^2 cdot 0 - 15 cdot 2xx^2 + y^2 + 16 e a partial fpartial x = e^y^2 - 30xx^2 + y^2 + 16 . As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando uma variável varia e a outra fica constante.
Para partial fpartial y = partialpartial y ( x e^y^2 ) - 15 partialpartial y ( log(x^2 + y^2 + 16) ) :
partial fpartial y = x e^y^2 cdot 2y - 15 cdot 2yx^2 + y^2 + 16
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
partial fpartial y = 2x y e^y^2 - 30yx^2 + y^2 + 16
Simplificando:
Para :
Usando a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular essas derivadas parciais no ponto partial fpartial x(2, 0) = e^0^2 - 30 cdot 22^2 + 0^2 + 16 = 1 - 604 + 0 + 16 = 1 - 6020 = 1 - 3 = -2 .
Para partial fpartial y(2, 0) = 2 cdot 2 cdot 0 cdot e^0^2 - 30 cdot 02^2 + 0^2 + 16 = 0 - 0 = 0 :
nabla f(2, 0) = ( -2, 0 )
Para :
Então, o gradiente de em é:

Passo 4

Agora, precisamos verificar se as derivadas parciais de são contínuas em . Olhando para as expressões das derivadas parciais, vemos que elas são compostas por funções elementares (exponenciais e logaritmos) que são contínuas em seus domínios. Além disso, o denominador nunca é zero, então não há descontinuidades. Portanto, as derivadas parciais são contínuas em .

Passo 5

Com as derivadas parciais contínuas, podemos calcular a derivada direcional na direção do vetor | u | = raiz0^2 + (-1)^2 = 1 . Primeiro, vamos garantir que partial fpartial u(2, 0) = nabla f(2, 0) cdot u = (-2, 0) cdot (0, -1) = (-2)(0) + (0)(-1) = 0 seja um vetor unitário. O comprimento de é:
Então, já é um vetor unitário.
A derivada direcional é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor direção:

Resposta

partial fpartial u(2,0) = 0

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