. Calcule
. Verifique que as derivadas parciais de
em
são contínuas e use esse fato para calcular a derivada direcional
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos uma função de duas variáveis,
. O objetivo é calcular o gradiente dessa função no ponto
, verificar se as derivadas parciais são contínuas nesse ponto e, usando isso, calcular a derivada direcional na direção do vetor
. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como calcular derivadas parciais, o gradiente de uma função e derivadas direcionais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
. As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando uma variável varia e a outra fica constante.
Para
:
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:
Para
:
Usando a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular essas derivadas parciais no ponto
.
Para
:
Para
:
Então, o gradiente de
em
é:
Passo 4
Agora, precisamos verificar se as derivadas parciais de
são contínuas em
. Olhando para as expressões das derivadas parciais, vemos que elas são compostas por funções elementares (exponenciais e logaritmos) que são contínuas em seus domínios. Além disso, o denominador
nunca é zero, então não há descontinuidades. Portanto, as derivadas parciais são contínuas em
.
Passo 5
Com as derivadas parciais contínuas, podemos calcular a derivada direcional na direção do vetor
. Primeiro, vamos garantir que
seja um vetor unitário. O comprimento de
é:
Então,
já é um vetor unitário.
A derivada direcional é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor direção:
Resposta
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Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
Resp.:
Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
Seja a função dada por
é diferenciável em
? Resp: (a)
não é diferenciável em
.
A temperatura em cada ponto de uma placa de metal é dada por
Se a formiga começa a se mover de modo que sua posição em cada instante seja dada por
, qual a taxa de variação de temperatura em relação ao tempo que a formiga sofre 3 segundos depois? Resp:(d) 0, 085 .