. Calcule . Verifique que as derivadas parciais de em são contínuas e use esse fato para calcular a derivada direcional onde .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos uma função de duas variáveis, . O objetivo é calcular o gradiente dessa função no ponto , verificar se as derivadas parciais são contínuas nesse ponto e, usando isso, calcular a derivada direcional na direção do vetor . Para resolver isso, a gente vai precisar entender como calcular derivadas parciais, o gradiente de uma função e derivadas direcionais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a . As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando uma variável varia e a outra fica constante.
Para :
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:
Para :
Usando a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular essas derivadas parciais no ponto .
Para :
Para :
Então, o gradiente de em é:

Passo 4

Agora, precisamos verificar se as derivadas parciais de são contínuas em . Olhando para as expressões das derivadas parciais, vemos que elas são compostas por funções elementares (exponenciais e logaritmos) que são contínuas em seus domínios. Além disso, o denominador nunca é zero, então não há descontinuidades. Portanto, as derivadas parciais são contínuas em .

Passo 5

Com as derivadas parciais contínuas, podemos calcular a derivada direcional na direção do vetor . Primeiro, vamos garantir que seja um vetor unitário. O comprimento de é:
Então, já é um vetor unitário.
A derivada direcional é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor direção:

Resposta

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Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
Resp.:
Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
Seja a função dada por
é diferenciável em ? Resp: (a) não é diferenciável em .
A temperatura em cada ponto de uma placa de metal é dada por
Se a formiga começa a se mover de modo que sua posição em cada instante seja dada por , qual a taxa de variação de temperatura em relação ao tempo que a formiga sofre 3 segundos depois? Resp:(d) 0, 085 .