Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y)=x y e^x^2+y^2 Resp.: partial fpartial x=(1+2 x^2) y e^x^2+y^2 partial fpartial y=(1+2 y^2) x e^x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular as derivadas parciais da função . Isso faz parte do estudo de derivadas parciais em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial x = y e^x^2+y^2 + x y cdot partialpartial x( e^x^2+y^2 ) em relação a partialpartial x( e^x^2+y^2 ) = e^x^2+y^2 cdot 2x , ou seja, partial fpartial x = y e^x^2+y^2 + x y cdot 2x e^x^2+y^2 = y e^x^2+y^2 (1 + 2x^2) .
A função tem um produto de três termos: , e . Vamos aplicar a regra do produto para derivadas parciais:
Agora, calculamos a derivada da exponencial com relação a usando a regra da cadeia:
Substituindo de volta:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = x e^x^2+y^2 + x y cdot partialpartial y( e^x^2+y^2 ) em relação a partialpartial y( e^x^2+y^2 ) = e^x^2+y^2 cdot 2y , ou seja, partial fpartial y = x e^x^2+y^2 + x y cdot 2y e^x^2+y^2 = x e^x^2+y^2 (1 + 2y^2) .
Usando a mesma lógica da regra do produto:
Calculando a derivada da exponencial com relação a :
Substituindo de volta:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
partial fpartial x = (1 + 2x^2) y e^x^2+y^2
partial fpartial y = (1 + 2y^2) x e^x^2+y^2

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