Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
Resp.:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular as derivadas parciais da função . Isso faz parte do estudo de derivadas parciais em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função tem um produto de três termos: , e . Vamos aplicar a regra do produto para derivadas parciais:
Agora, calculamos a derivada da exponencial com relação a usando a regra da cadeia:
Substituindo de volta:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Usando a mesma lógica da regra do produto:
Calculando a derivada da exponencial com relação a :
Substituindo de volta:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
A temperatura em cada ponto de uma placa de metal é dada por
Se a formiga se mover na direção do vetor , ela estará esquentando ou esfriando? Qual a taxa? Resp: © Esfriando, taxa .
. Calcule . Verifique que as derivadas parciais de em são contínuas e use esse fato para calcular a derivada direcional onde .
Seja a função dada por
é diferenciável em ? Resp: (a) não é diferenciável em .