Seja
, dada por
. Prove que
admite máximo e mínimo em
. Como determinar estes valores?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a função
tem um máximo e um mínimo no intervalo
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente o teorema do valor extremo, que nos ajuda a encontrar esses valores máximos e mínimos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o Teorema do Valor Extremo. Ele diz que se uma função é contínua em um intervalo fechado
, então ela atinge tanto o seu valor máximo quanto o mínimo nesse intervalo. Então, nosso objetivo inicial é verificar se a função
é contínua em
.
Passo 3
Vamos analisar a continuidade de
. A função é composta por um polinômio no numerador e no denominador. Sabemos que polinômios são contínuos em todo o seu domínio e que a função está definida para todos os
onde o denominador não é zero. Como
nunca é zero para qualquer número real
, a função
é contínua em todo
, incluindo o intervalo
.
Passo 4
Agora que estabelecemos que
é contínua em
, pelo Teorema do Valor Extremo, sabemos que ela atinge um valor máximo e mínimo nesse intervalo. Para encontrar esses valores, vamos seguir dois passos:
- Encontrar os pontos críticos da função, onde a derivada
é zero ou não existe. - Avaliar
nesses pontos críticos e também nas extremidades do intervalo, ou seja, em e .
Passo 5
Vamos calcular a derivada de
para encontrar os pontos críticos. Usaremos a regra do quociente para derivar:
A derivada
é:
Passo 6
Para encontrar os pontos críticos, vamos resolver
:
O denominador
nunca é zero, então basta resolver:
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 7
Agora, vamos avaliar
nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo:
-
:
-
:
-
:
-
:
Resposta
Com base nos cálculos, a função
atinge o máximo de
no ponto
e o mínimo de
no ponto
no intervalo
.