Seja f: [-2, 2] -> R, dada por f(x) = x / (1 + x^2). Prove que f admite máximo e mínimo em [-2, 2]. Como determinar estes valores?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a função tem um máximo e um mínimo no intervalo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente o teorema do valor extremo, que nos ajuda a encontrar esses valores máximos e mínimos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o Teorema do Valor Extremo. Ele diz que se uma função é contínua em um intervalo fechado , então ela atinge tanto o seu valor máximo quanto o mínimo nesse intervalo. Então, nosso objetivo inicial é verificar se a função é contínua em .

Passo 3

Vamos analisar a continuidade de . A função é composta por um polinômio no numerador e no denominador. Sabemos que polinômios são contínuos em todo o seu domínio e que a função está definida para todos os onde o denominador não é zero. Como nunca é zero para qualquer número real , a função é contínua em todo , incluindo o intervalo .

Passo 4

Agora que estabelecemos que é contínua em , pelo Teorema do Valor Extremo, sabemos que ela atinge um valor máximo e mínimo nesse intervalo. Para encontrar esses valores, vamos seguir dois passos:
  1. Encontrar os pontos críticos da função, onde a derivada é zero ou não existe.
  2. Avaliar nesses pontos críticos e também nas extremidades do intervalo, ou seja, em e .

Passo 5

Vamos calcular a derivada de para encontrar os pontos críticos. Usaremos a regra do quociente para derivar:
A derivada é:

Passo 6

Para encontrar os pontos críticos, vamos resolver :
O denominador nunca é zero, então basta resolver:
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 7

Agora, vamos avaliar nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo:
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :

Resposta

Com base nos cálculos, a função atinge o máximo de no ponto e o mínimo de no ponto no intervalo .

Exercícios relacionados